Номер 21, страница 163 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

21. Докажите, что катет прямоугольного треугольника есть среднее геометрическое гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Для доказательства утверждения рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором угол при вершине $C$ является прямым ($\angle C = 90^\circ$). Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на гипотенузу $AB$.

Введем обозначения: катеты $AC = b$ и $BC = a$, гипотенуза $AB = c$. Отрезок $AH$ является проекцией катета $b$ на гипотенузу, его длина $AH = b_c$. Соответственно, $BH$ — проекция катета $a$, и $BH = a_c$.

Требуется доказать, что катет является средним геометрическим для гипотенузы и своей проекции на гипотенузу. Для катета $b$ это означает, что $b = \sqrt{c \cdot b_c}$. Докажем эквивалентное утверждение: $b^2 = c \cdot b_c$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$ и треугольник $\triangle ACH$. Эти треугольники подобны, так как у них есть два равных угла:

1. Угол $\angle A$ является общим для обоих треугольников.

2. Угол $\angle ACB = 90^\circ$ (по условию, так как $\triangle ABC$ — прямоугольный) и угол $\angle AHC = 90^\circ$ (по построению, так как $CH$ — высота).

Следовательно, $\triangle ABC \sim \triangle ACH$ по первому признаку подобия (по двум углам).

Из подобия треугольников следует, что отношения их соответственных сторон равны. В $\triangle ABC$ гипотенузой является сторона $AB$ (длиной $c$), а катетом, прилежащим к углу $A$, — сторона $AC$ (длиной $b$). В подобном ему $\triangle ACH$ гипотенузой является сторона $AC$ (длиной $b$), а катетом, прилежащим к общему углу $A$, — сторона $AH$ (длиной $b_c$).

Составим пропорцию, приравнивая отношения гипотенуз к отношениям катетов, прилежащих к углу $A$:

$\frac{AB}{AC} = \frac{AC}{AH}$

Подставим введенные буквенные обозначения длин сторон:

$\frac{c}{b} = \frac{b}{b_c}$

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:

$b^2 = c \cdot b_c$

Извлекая квадратный корень из обеих частей равенства, приходим к исходному утверждению:

$b = \sqrt{c \cdot b_c}$

Доказательство для второго катета $a$ и его проекции $a_c$ проводится полностью аналогично. Рассматриваются подобные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CBH$ (у них общий угол $\angle B$ и прямые углы $\angle ACB$ и $\angle CHB$), из подобия которых следует $a^2 = c \cdot a_c$.

Таким образом, утверждение доказано: катет прямоугольного треугольника является средним геометрическим гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Ответ: Утверждение доказано. Для катета $k$, гипотенузы $c$ и проекции этого катета на гипотенузу $k_c$ справедливо равенство $k^2 = c \cdot k_c$, что эквивалентно $k = \sqrt{c \cdot k_c}$.