Номер 22, страница 163 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

22. Какие свойства высоты, опущенной из прямого угла на гипотенузу, вы знаете? Докажите их.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$. Пусть $AC = b$ и $BC = a$ — катеты, а $AB = c$ — гипотенуза. Проведем из вершины $C$ на гипотенузу $AB$ высоту $CH$, длина которой равна $h$. Точка $H$ делит гипотенузу на два отрезка: $AH$ и $BH$. Отрезок $AH$ является проекцией катета $AC$ на гипотенузу, обозначим его $b_c$. Отрезок $BH$ является проекцией катета $BC$ на гипотенузу, обозначим его $a_c$. Таким образом, $c = a_c + b_c$.

Высота, опущенная из прямого угла на гипотенузу, обладает несколькими важными свойствами, которые также называют метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике.

Свойство 1: Высота как среднее пропорциональное

Высота, опущенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное (или среднее геометрическое) для проекций катетов на гипотенузу.
Формула: $h^2 = a_c \cdot b_c$.

Доказательство:
Рассмотрим треугольники $\triangle ACH$ и $\triangle CBH$.
1. $\angle AHC = \angle CHB = 90^\circ$, так как $CH$ — высота.
2. Пусть $\angle CAB = \alpha$. Тогда в большом треугольнике $\triangle ABC$, $\angle CBA = 90^\circ - \alpha$.
3. В прямоугольном треугольнике $\triangle ACH$, $\angle ACH = 90^\circ - \angle CAH = 90^\circ - \alpha$.
4. В прямоугольном треугольнике $\triangle CBH$, $\angle BCH = 90^\circ - \angle CBH = 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha$.
Таким образом, в $\triangle ACH$ углы равны $\alpha$, $90^\circ$ и $90^\circ - \alpha$.
В $\triangle CBH$ углы равны $90^\circ - \alpha$, $90^\circ$ и $\alpha$.
Следовательно, треугольники подобны по двум углам: $\triangle ACH \sim \triangle CBH$.
Из подобия следует пропорциональность соответствующих сторон:
$\frac{AH}{CH} = \frac{CH}{BH}$
Подставляя наши обозначения, получаем:
$\frac{b_c}{h} = \frac{h}{a_c}$
Из этой пропорции следует: $h \cdot h = a_c \cdot b_c$, или $h^2 = a_c \cdot b_c$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: $h^2 = a_c \cdot b_c$.

Свойство 2: Катет как среднее пропорциональное

Каждый катет есть среднее пропорциональное для гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.
Формулы: $a^2 = c \cdot a_c$ и $b^2 = c \cdot b_c$.

Доказательство:
а) Докажем для катета $a$. Рассмотрим $\triangle ABC$ и $\triangle CBH$.
1. $\angle ACB = 90^\circ$ (по условию), $\angle CHB = 90^\circ$ (так как $CH$ — высота).
2. $\angle B$ является общим для обоих треугольников.
Следовательно, $\triangle ABC \sim \triangle CBH$ по двум углам.
Из подобия следует пропорциональность сторон:
$\frac{BC}{AB} = \frac{BH}{CB}$
Подставляя наши обозначения, получаем:
$\frac{a}{c} = \frac{a_c}{a}$
Отсюда $a^2 = c \cdot a_c$.

б) Докажем для катета $b$. Рассмотрим $\triangle ABC$ и $\triangle ACH$.
1. $\angle ACB = 90^\circ$ (по условию), $\angle AHC = 90^\circ$ (так как $CH$ — высота).
2. $\angle A$ является общим для обоих треугольников.
Следовательно, $\triangle ABC \sim \triangle ACH$ по двум углам.
Из подобия следует пропорциональность сторон:
$\frac{AC}{AB} = \frac{AH}{AC}$
Подставляя наши обозначения, получаем:
$\frac{b}{c} = \frac{b_c}{b}$
Отсюда $b^2 = c \cdot b_c$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: $a^2 = c \cdot a_c$ и $b^2 = c \cdot b_c$.

Свойство 3: Выражение высоты через стороны треугольника

Произведение высоты, опущенной на гипотенузу, на гипотенузу равно произведению катетов.
Формула: $h \cdot c = a \cdot b$.

Доказательство:
Площадь треугольника можно вычислить по формуле: $S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}$.
1. Вычислим площадь $\triangle ABC$, приняв за основание катет $AC=b$. Тогда высотой будет катет $BC=a$.
$S = \frac{1}{2} b \cdot a$
2. Теперь вычислим площадь того же треугольника, приняв за основание гипотенузу $AB=c$. Тогда высотой будет $CH=h$.
$S = \frac{1}{2} c \cdot h$
Так как площадь треугольника — величина постоянная, мы можем приравнять эти два выражения:
$\frac{1}{2} a \cdot b = \frac{1}{2} c \cdot h$
Умножив обе части равенства на 2, получим:
$a \cdot b = c \cdot h$
Что и требовалось доказать.
Ответ: $h \cdot c = a \cdot b$.