Номер 23, страница 163 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

23. Докажите теорему Стюарта.

Теорема Стюарта устанавливает связь между длинами сторон треугольника и длиной чевианы, проведенной к одной из сторон.

Формулировка теоремы:

Пусть в треугольнике $ABC$ со сторонами $AB=c$, $AC=b$ и $BC=a$ проведена чевиана $AP=d$ к стороне $BC$. Точка $P$ делит сторону $BC$ на отрезки $BP=m$ и $PC=n$, так что $a=m+n$. Тогда выполняется равенство:

$b^2m + c^2n = a(d^2 + mn)$

Доказательство:

Доказательство теоремы удобно провести с помощью теоремы косинусов. Рассмотрим треугольник $ABC$ и чевиану $AP$, как показано на рисунке.

Обозначим угол $APB$ как $\theta$. Поскольку углы $APB$ и $APC$ смежные, угол $APC$ равен $180^\circ - \theta$.

Рассмотрим треугольник $ABP$. По теореме косинусов для стороны $c$ ($AB$) имеем:

$c^2 = d^2 + m^2 - 2dm \cos(\theta)$ (1)

Теперь рассмотрим треугольник $ACP$. По теореме косинусов для стороны $b$ ($AC$) имеем:

$b^2 = d^2 + n^2 - 2dn \cos(180^\circ - \theta)$

Используя тригонометрическое тождество $\cos(180^\circ - \theta) = -\cos(\theta)$, преобразуем второе выражение:

$b^2 = d^2 + n^2 + 2dn \cos(\theta)$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений. Чтобы избавиться от $\cos(\theta)$, умножим уравнение (1) на $n$, а уравнение (2) на $m$:

$c^2n = d^2n + m^2n - 2dmn \cos(\theta)$ (3)

$b^2m = d^2m + n^2m + 2dmn \cos(\theta)$ (4)

Теперь сложим почленно уравнения (3) и (4). Члены, содержащие косинус, взаимно уничтожатся:

$b^2m + c^2n = (d^2m + n^2m) + (d^2n + m^2n)$

Сгруппируем слагаемые в правой части равенства, вынося за скобки общие множители:

$b^2m + c^2n = d^2(m+n) + mn(m+n)$

Вынесем общий множитель $(m+n)$ за скобки:

$b^2m + c^2n = (m+n)(d^2 + mn)$

Поскольку $a = m+n$ по построению, мы приходим к окончательной формуле теоремы Стюарта:

$b^2m + c^2n = a(d^2 + mn)$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема Стюарта доказана. Она устанавливает соотношение $b^2m + c^2n = a(d^2 + mn)$ для сторон треугольника и чевианы.