Номер 30, страница 163 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

30. Напишите уравнения прямой и окружности.

Поскольку на изображении не представлены конкретные прямая и окружность для составления уравнений, в ответе будут приведены общие формулы и разобраны примеры их использования.

Уравнение прямой
Уравнение прямой на плоскости можно задать несколькими способами. Наиболее распространенным является уравнение с угловым коэффициентом: $y = kx + b$.
Здесь $k$ — это угловой коэффициент, который равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс (Ox).
$b$ — это ордината точки пересечения прямой с осью ординат (Oy).

Если известны координаты двух точек, через которые проходит прямая, например $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$, то ее уравнение можно найти по формуле:
$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Пример: Напишем уравнение прямой, проходящей через точки $A(2, 5)$ и $B(-1, -1)$.
Подставим координаты точек $A$ и $B$ в формулу:
$\frac{x - 2}{-1 - 2} = \frac{y - 5}{-1 - 5}$
$\frac{x - 2}{-3} = \frac{y - 5}{-6}$
Умножим обе части уравнения на $-6$, чтобы избавиться от знаменателей:
$2(x - 2) = y - 5$
$2x - 4 = y - 5$
Выразим $y$, чтобы получить уравнение в виде $y = kx + b$:
$y = 2x - 4 + 5$
$y = 2x + 1$

Ответ: Общий вид уравнения прямой: $y = kx + b$ или $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$. Уравнение прямой для примера: $y = 2x + 1$.

Уравнение окружности
Стандартное (каноническое) уравнение окружности на плоскости имеет вид:
$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$
Здесь $(a, b)$ — это координаты центра окружности.
$R$ — это радиус окружности.
Это уравнение выражает тот факт, что любая точка $(x, y)$ на окружности находится на одинаковом расстоянии $R$ от центра $(a, b)$.

Пример: Напишем уравнение окружности с центром в точке $C(3, -2)$ и радиусом $R = 6$.
Подставим значения $a = 3$, $b = -2$ и $R = 6$ в стандартное уравнение:
$(x - 3)^2 + (y - (-2))^2 = 6^2$
$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 36$
Это и есть искомое уравнение окружности.

Ответ: Общий вид уравнения окружности: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$. Уравнение окружности для примера: $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 36$.