Номер 2, страница 164 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2. Что такое модуль векторов? Какие векторы называют равными?

Что такое модуль векторов?

Модулем (или длиной, или абсолютной величиной) вектора называют длину отрезка, который изображает данный вектор. Модуль вектора является скалярной (числовой) величиной и всегда неотрицателен.
Модуль вектора $\vec{a}$ обозначается как $|\vec{a}|$.
Если вектор задан своими координатами на плоскости, $\vec{a} = (a_x; a_y)$, то его модуль вычисляется по формуле, которая является следствием теоремы Пифагора:
$|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$
Например, для вектора $\vec{AB}$ с началом в точке $A(x_1, y_1)$ и концом в точке $B(x_2, y_2)$, его координаты равны $(x_2 - x_1; y_2 - y_1)$, а модуль:
$|\vec{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
Аналогично, для вектора в трехмерном пространстве $\vec{b} = (b_x; b_y; b_z)$, его модуль равен:
$|\vec{b}| = \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}$
Модуль нулевого вектора (вектора, у которого начало и конец совпадают) равен нулю: $|\vec{0}| = 0$.

Ответ: Модуль вектора — это длина отрезка, изображающего вектор. Это неотрицательное число, которое характеризует "силу" или "величину" вектора.

Какие векторы называют равными?

Два ненулевых вектора называются равными, если они удовлетворяют одновременно двум условиям:
1. Их модули (длины) равны.
2. Они сонаправлены (то есть лежат на параллельных прямых или на одной прямой и направлены в одну и ту же сторону).



На рисунке векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны, то есть $\vec{a} = \vec{b}$, так как они параллельны, имеют одинаковую длину (модуль) и одинаковое направление.
С геометрической точки зрения, равенство векторов означает, что один вектор можно получить из другого путем параллельного переноса. Из этого следует важное свойство: равные векторы имеют одинаковые координаты.
Если вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(a_x; a_y)$ и вектор $\vec{c}$ имеет координаты $(c_x; c_y)$, то равенство $\vec{a} = \vec{c}$ выполняется тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты равны:
$a_x = c_x$ и $a_y = c_y$.
Это координатное определение равенства векторов является наиболее удобным для решения практических задач.

Ответ: Векторы называют равными, если они сонаправлены и их длины (модули) равны. В координатной форме это означает, что их соответствующие координаты равны.