Номер 4, страница 164 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4. Что такое разность векторов? Определите действие умножения вектора на число. Какими свойствами обладает это действие?

Что такое разность векторов?

Разностью векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется такой вектор $\vec{c}$, который в сумме с вектором $\vec{b}$ дает вектор $\vec{a}$. Это записывается как $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$, из чего следует, что $\vec{c} + \vec{b} = \vec{a}$.

Другое эквивалентное определение: разность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ есть сумма вектора $\vec{a}$ и вектора, противоположного вектору $\vec{b}$ (то есть вектора $-\vec{b}$): $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$. Вектор $-\vec{b}$ имеет ту же длину, что и $\vec{b}$, но направлен в противоположную сторону.

Геометрическое построение:
Чтобы построить вектор разности $\vec{a} - \vec{b}$, нужно отложить оба вектора от одной общей начальной точки (например, точки O). Пусть $\vec{a} = \vec{OA}$ и $\vec{b} = \vec{OB}$. Тогда вектор разности будет вектором, соединяющим конец вектора $\vec{b}$ с концом вектора $\vec{a}$, то есть вектор $\vec{BA}$.

В координатах:
Если векторы заданы своими координатами в некоторой системе координат, например, на плоскости $\vec{a} = (a_x; a_y)$ и $\vec{b} = (b_x; b_y)$, то координаты их разности равны разностям соответствующих координат: $\vec{a} - \vec{b} = (a_x - b_x; a_y - b_y)$.

Ответ: Разность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — это вектор $\vec{c}$, такой что $\vec{c} + \vec{b} = \vec{a}$. Геометрически, если векторы отложены из одной точки, то разность — это вектор, идущий от конца вычитаемого вектора ($\vec{b}$) к концу уменьшаемого вектора ($\vec{a}$). Координаты вектора разности равны разностям соответствующих координат исходных векторов.

Определите действие умножения вектора на число.

Умножением (или произведением) ненулевого вектора $\vec{a}$ на число (скаляр) $k$ называется новый вектор $\vec{b} = k\vec{a}$, который удовлетворяет следующим условиям:

1. Длина (модуль) нового вектора равна произведению модуля числа $k$ на длину исходного вектора $\vec{a}$: $|\vec{b}| = |k \vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$.

2. Направление нового вектора: если $k > 0$, то вектор $\vec{b}$ сонаправлен с вектором $\vec{a}$ (направлен в ту же сторону), что обозначается как $\vec{b} \uparrow\uparrow \vec{a}$; если $k < 0$, то вектор $\vec{b}$ противоположно направлен вектору $\vec{a}$ (направлен в противоположную сторону), что обозначается как $\vec{b} \uparrow\downarrow \vec{a}$.

Если $k = 0$ или $\vec{a} = \vec{0}$ (нулевой вектор), то их произведение $k\vec{a}$ является нулевым вектором $\vec{0}$.

В координатах:
Если вектор задан своими координатами, например, в пространстве $\vec{a} = (a_x; a_y; a_z)$, то для умножения вектора на число $k$ необходимо каждую его координату умножить на это число: $k\vec{a} = (k \cdot a_x; k \cdot a_y; k \cdot a_z)$.

Ответ: Умножение вектора $\vec{a}$ на число $k$ — это операция, в результате которой получается новый вектор, длина которого равна $|\vec{a}| \cdot |k|$, а направление совпадает с направлением $\vec{a}$ при $k > 0$ и противоположно ему при $k < 0$. Если $k=0$ или $\vec{a}=\vec{0}$, результат - нулевой вектор.

Какими свойствами обладает это действие?

Действие умножения вектора на число обладает следующими свойствами. Для любых векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и любых чисел (скаляров) $k$, $m$:

1. Сочетательный закон (ассоциативность) относительно числового множителя:
$(k \cdot m)\vec{a} = k(m\vec{a})$

2. Первый распределительный закон (дистрибутивность) относительно суммы чисел:
$(k + m)\vec{a} = k\vec{a} + m\vec{a}$

3. Второй распределительный закон (дистрибутивность) относительно суммы векторов:
$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$

4. Свойство единичного множителя:
$1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$

Ответ: Умножение вектора на число обладает свойствами ассоциативности ($(km)\vec{a} = k(m\vec{a})$), дистрибутивности относительно суммы скаляров ($(k+m)\vec{a} = k\vec{a} + m\vec{a}$) и дистрибутивности относительно суммы векторов ($k(\vec{a}+\vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$), а также свойством единичного множителя ($1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$).