Номер 5, страница 164 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5. Что такое угол между векторами?

5. Угол между двумя ненулевыми векторами — это наименьший угол, образованный лучами, на которых лежат эти векторы, при условии, что их начала совмещены.

Геометрическое определение

Пусть даны два ненулевых вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Чтобы найти угол между ними, нужно отложить их от одной произвольной точки $O$, получив векторы $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$. Углом между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется угол $\angle AOB$. Обозначим этот угол $\alpha$. По определению, его величина находится в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$ (или от $0$ до $\pi$ радиан).

Частные случаи
– Если векторы сонаправлены (направления совпадают), угол между ними равен $0^\circ$.
– Если векторы противоположно направлены, угол между ними равен $180^\circ$ ($\pi$ радиан).
– Если векторы перпендикулярны (ортогональны), угол между ними равен $90^\circ$ ($\pi/2$ радиан).
– Если хотя бы один из векторов нулевой, то угол между ними не определён.

Алгебраическое определение (через скалярное произведение)

Угол между векторами можно вычислить, используя их скалярное произведение. По определению, скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равно произведению их длин (модулей) на косинус угла между ними:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$

Из этой формулы можно выразить косинус угла $\alpha$:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Эта формула позволяет найти угол, если известны длины векторов и их скалярное произведение.

Если векторы заданы своими координатами в прямоугольной системе, например, на плоскости $\vec{a} = \{x_1; y_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2; y_2\}$, то вычисления производятся следующим образом:
1. Находится скалярное произведение: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$.
2. Находятся длины векторов: $|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$ и $|\vec{b}| = \sqrt{x_2^2 + y_2^2}$.
3. Значения подставляются в формулу для косинуса:

$\cos(\alpha) = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$

После вычисления значения $\cos(\alpha)$, сам угол $\alpha$ можно найти с помощью функции арккосинуса: $\alpha = \arccos(\cos(\alpha))$. Аналогичные формулы применяются и для векторов в трехмерном пространстве.

Ответ: Угол между двумя ненулевыми векторами – это наименьший угол между ними, когда их начала совмещены в одной точке. Величина угла находится в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$. Алгебраически косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется через их скалярное произведение по формуле $\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$.