Номер 32, страница 164 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

32. Напишите формулу уравнения эллипса, гиперболы и параболы.

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

$y^2 = 2px$

Уравнение эллипса
Каноническое (стандартное) уравнение эллипса с центром в начале координат $(0, 0)$ и полуосями, расположенными на осях координат, имеет вид: $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $
Здесь $a$ и $b$ — длины большой и малой полуосей эллипса соответственно, при этом $a > 0$ и $b > 0$. Если $a > b$, то фокусы эллипса лежат на оси $Ox$ в точках $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0)$, где $c = \sqrt{a^2 - b^2}$.
Ответ: $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $

Уравнение гиперболы
Каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат $(0, 0)$ и действительной осью, совпадающей с осью $Ox$, имеет вид: $ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $
Здесь $a$ — длина действительной полуоси, $b$ — длина мнимой полуоси, при этом $a > 0$ и $b > 0$. Фокусы гиперболы лежат на оси $Ox$ в точках $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0)$, где $c = \sqrt{a^2 + b^2}$.
Ответ: $ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $

Уравнение параболы
Каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат $(0, 0)$ и осью симметрии, совпадающей с осью $Ox$, имеет вид: $ y^2 = 2px $
Здесь $p$ — фокальный параметр, равный расстоянию от фокуса до директрисы. Фокус параболы находится в точке $F(\frac{p}{2}, 0)$, а уравнение ее директрисы $x = -\frac{p}{2}$. Если $p > 0$, ветви параболы направлены вправо, если $p < 0$ — влево.
Ответ: $ y^2 = 2px $