Номер 33, страница 164 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

33. Как определяются синус, косинус и тангенс углов от 0° до 180°?

Для определения синуса, косинуса и тангенса углов в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$ используется единичная полуокружность, построенная в прямоугольной (декартовой) системе координат.

Рассмотрим полуокружность с центром в начале координат $O(0,0)$ и радиусом, равным единице ($R=1$), расположенную в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). Любому углу $\alpha$ из диапазона от $0^\circ$ до $180^\circ$ на этой полуокружности соответствует единственная точка $M$. Угол $\alpha$ отсчитывается от положительного направления оси абсцисс ($Ox$) против часовой стрелки. Пусть точка $M$ имеет координаты $(x, y)$.

Синус угла α
Синусом угла $\alpha$ (обозначается $\sin(\alpha)$) называется ордината (координата $y$) точки $M$ на единичной полуокружности.
$ \sin(\alpha) = y $
Для любого угла $\alpha$ в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$ синус является неотрицательным числом, так как точка $M$ находится в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). Значения синуса лежат в пределах от 0 до 1: $0 \le \sin(\alpha) \le 1$.
Ответ: Синусом угла $\alpha$ от $0^\circ$ до $180^\circ$ называется ордината точки единичной полуокружности, соответствующей углу $\alpha$.

Косинус угла α
Косинусом угла $\alpha$ (обозначается $\cos(\alpha)$) называется абсцисса (координата $x$) точки $M$ на единичной полуокружности.
$ \cos(\alpha) = x $
Для углов $\alpha$ от $0^\circ$ до $180^\circ$ значения косинуса лежат в пределах от -1 до 1: $-1 \le \cos(\alpha) \le 1$. Для острых углов ($0^\circ \le \alpha < 90^\circ$) косинус положителен, а для тупых углов ($90^\circ < \alpha \le 180^\circ$) — отрицателен. При $\alpha = 90^\circ$ косинус равен нулю.
Ответ: Косинусом угла $\alpha$ от $0^\circ$ до $180^\circ$ называется абсцисса точки единичной полуокружности, соответствующей углу $\alpha$.

Тангенс угла α
Тангенсом угла $\alpha$ (обозначается $\tan(\alpha)$ или $\text{tg}(\alpha)$) называется отношение синуса этого угла к его косинусу.
$ \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{y}{x} $
Тангенс определён для всех углов $\alpha$ от $0^\circ$ до $180^\circ$, кроме $\alpha=90^\circ$. При $\alpha=90^\circ$ точка $M$ имеет координаты $(0,1)$, поэтому абсцисса $x=0$, и деление на ноль невозможно. Следовательно, $\tan(90^\circ)$ не определён.
Ответ: Тангенсом угла $\alpha$ от $0^\circ$ до $180^\circ$ называется отношение синуса угла к его косинусу; тангенс не определён для угла $90^\circ$.