Номер 3, страница 164 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3. Что такое сумма векторов? Назовите правило треугольника и правило параллелограмма сложения векторов.

Суммой векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется такой третий вектор $\vec{c}$, начало которого совпадает с началом вектора $\vec{a}$, а конец — с концом вектора $\vec{b}$, при условии, что вектор $\vec{b}$ отложен от конца вектора $\vec{a}$. Иными словами, это результат последовательного перемещения, описываемого каждым из векторов. Если векторы заданы своими координатами в некоторой системе, например $\vec{a} = \{a_x; a_y\}$ и $\vec{b} = \{b_x; b_y\}$, то их сумма — это вектор $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$, координаты которого равны суммам соответствующих координат исходных векторов: $\vec{c} = \{a_x + b_x; a_y + b_y\}$.

Для геометрического нахождения суммы векторов существуют два основных правила: правило треугольника и правило параллелограмма.

Правило треугольника

Данное правило является наиболее универсальным способом геометрического сложения векторов. Чтобы сложить два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по правилу треугольника, нужно:
1. От произвольной точки A отложить вектор $\vec{AB}$, равный вектору $\vec{a}$.
2. От конца первого вектора (точки B) отложить вектор $\vec{BC}$, равный вектору $\vec{b}$.
3. Суммой векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ будет вектор $\vec{c}$, который соединяет начало первого вектора (точка A) с концом второго (точка C). Таким образом, $\vec{c} = \vec{AC}$.

Это правило можно сформулировать в виде векторного равенства, известного как равенство Шаля: для любых трех точек A, B и C выполняется $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.
Ответ: Правило треугольника гласит, что если два вектора отложены последовательно один за другим так, что начало второго вектора совпадает с концом первого, то их сумма представляет собой вектор, направленный из начала первого вектора в конец второго, и является замыкающей стороной образовавшегося треугольника.

Правило параллелограмма

Это правило удобно применять, когда векторы имеют общее начало. Для сложения двух неколлинеарных векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по правилу параллелограмма, нужно:
1. Отложить оба вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ от одной общей точки O. Пусть $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$.
2. Достроить на этих векторах, как на смежных сторонах, параллелограмм OACB.
3. Диагональ этого параллелограмма, выходящая из общего начала O, и будет вектором суммы $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$. То есть, $\vec{c} = \vec{OC}$.

Правило параллелограмма является следствием правила треугольника, так как в параллелограмме OACB сторона AC равна и параллельна вектору $\vec{OB}$. Следовательно, $\vec{AC} = \vec{b}$, и по правилу треугольника для треугольника OAC имеем: $\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}$.
Ответ: Правило параллелограмма гласит, что сумма двух векторов, приложенных к одной точке, равна вектору, который совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах, и исходит из их общего начала.