Номер 7, страница 164 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7. Что такое координаты вектора? Как выполняются действия сложения и умножения на число вектора с заданными координатами? Как определяется его модуль?

Что такое координаты вектора?

Координатами вектора в прямоугольной системе координат называют пару чисел, которые определяют проекции вектора на координатные оси. Если вектор $\vec{a}$ имеет начало в точке $A(x_1, y_1)$ и конец в точке $B(x_2, y_2)$, то его координаты равны разностям соответствующих координат конца и начала вектора. Обозначаются координаты как $\vec{a} = (a_x, a_y)$ и вычисляются по формулам: $a_x = x_2 - x_1$ и $a_y = y_2 - y_1$. Если начало вектора совпадает с началом координат $O(0, 0)$, то его координаты равны координатам его конечной точки.

Ответ: Координатами вектора $\vec{AB}$, где $A(x_1, y_1)$ — начальная точка, а $B(x_2, y_2)$ — конечная, является упорядоченная пара чисел $(x_2 - x_1, y_2 - y_1)$.

Как выполняются действия сложения и умножения на число вектора с заданными координатами?

Все действия с векторами, заданными в координатной форме, выполняются покоординатно.

Сложение векторов: При сложении двух векторов их соответствующие координаты складываются. Суммой векторов $\vec{a} = (x_1, y_1)$ и $\vec{b} = (x_2, y_2)$ будет вектор $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$, координаты которого равны $(x_1 + x_2, y_1 + y_2)$.

Умножение вектора на число: При умножении вектора на число (скаляр) каждая его координата умножается на это число. Произведением вектора $\vec{a} = (x, y)$ на число $k$ будет вектор $k\vec{a}$, координаты которого равны $(kx, ky)$.

Ответ: Для векторов $\vec{a} = (x_1, y_1)$ и $\vec{b} = (x_2, y_2)$ и числа $k$ сложение выполняется по правилу $\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$, а умножение на число — по правилу $k\vec{a} = (kx_1, ky_1)$.

Как определяется его модуль?

Модулем (или длиной) вектора называется длина отрезка, изображающего этот вектор. Если вектор задан своими координатами $\vec{a} = (x, y)$, его модуль, обозначаемый $|\vec{a}|$, можно найти с помощью теоремы Пифагора. Вектор рассматривается как гипотенуза прямоугольного треугольника, катетами которого служат проекции вектора на оси координат, то есть его координаты $x$ и $y$.

Ответ: Модуль вектора $\vec{a} = (x, y)$ определяется как квадратный корень из суммы квадратов его координат: $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.