Номер 13, страница 164 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

13. Как решить треугольник по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум углам?

«Решить треугольник» — это значит найти длины всех его трех сторон и величины всех трех углов по известным элементам. Для описания будем использовать стандартные обозначения для треугольника ABC:

В треугольнике ABC: $a, b, c$ — это длины сторон, лежащих напротив вершин A, B, и C соответственно; $\alpha, \beta, \gamma$ — это углы при вершинах A, B, и C. Основное свойство углов: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

Для решения задач используются две основные теоремы:
Теорема косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$ (и аналогичные формулы для других сторон).
Теорема синусов: $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$.

по двум сторонам и углу между ними

Этот случай соответствует второму признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними, SAS). Предположим, что нам известны длины сторон $a$ и $b$, и величина угла $\gamma$ между ними.

1. Найти третью сторону ($c$)
Для нахождения стороны $c$, противолежащей известному углу $\gamma$, применяется теорема косинусов:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$

Извлекая квадратный корень, получаем длину стороны $c$:

$c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma}$

2. Найти второй угол (например, $\alpha$)
Теперь, зная все три стороны, можно найти один из оставшихся углов. Для надежности лучше снова использовать теорему косинусов, чтобы найти угол $\alpha$:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$

Выражаем из формулы косинус угла $\alpha$:

$\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

Сам угол $\alpha$ находится с помощью функции арккосинус:

$\alpha = \arccos\left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)$

3. Найти третий угол ($\beta$)
Зная два угла ($\gamma$ и $\alpha$), третий угол $\beta$ вычисляется из условия, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$:

$\beta = 180^\circ - \alpha - \gamma$

Таким образом, все неизвестные элементы треугольника определены.

Ответ: Для решения треугольника по двум сторонам ($a, b$) и углу между ними ($\gamma$) необходимо выполнить следующие шаги:1. Найти сторону $c$ по теореме косинусов: $c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma}$.2. Найти угол $\alpha$ по теореме косинусов: $\alpha = \arccos\left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)$.3. Найти угол $\beta$ по формуле суммы углов: $\beta = 180^\circ - \alpha - \gamma$.

по стороне и двум углам

Этот случай соответствует первому признаку равенства треугольников (сторона и два прилежащих угла, ASA) или его вариации (сторона, прилежащий и противолежащий угол, AAS). Поскольку третий угол всегда можно найти, если известны два других, оба случая решаются одинаково. Предположим, нам известны сторона $a$ и углы $\alpha$ и $\beta$.

1. Найти третий угол ($\gamma$)
Третий угол $\gamma$ находится из свойства суммы углов треугольника:

$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$

Теперь известны все три угла треугольника.

2. Найти оставшиеся стороны ($b$ и $c$)
Зная все углы и одну сторону, мы можем использовать теорему синусов для нахождения двух других сторон.

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$

Чтобы найти сторону $b$, используем пропорцию:

$\frac{b}{\sin \beta} = \frac{a}{\sin \alpha} \implies b = a \cdot \frac{\sin \beta}{\sin \alpha}$

Чтобы найти сторону $c$, используем ту же теорему:

$\frac{c}{\sin \gamma} = \frac{a}{\sin \alpha} \implies c = a \cdot \frac{\sin \gamma}{\sin \alpha}$

Таким образом, все неизвестные элементы треугольника определены.

Ответ: Для решения треугольника по стороне ($a$) и двум углам ($\alpha, \beta$) необходимо выполнить следующие шаги:1. Найти третий угол $\gamma$: $\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$.2. Найти стороны $b$ и $c$ по теореме синусов: $b = a \cdot \frac{\sin \beta}{\sin \alpha}$ и $c = a \cdot \frac{\sin \gamma}{\sin \alpha}$.