Номер 17, страница 164 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

17. Расскажите о преобразовании плоскости.

Преобразование плоскости — это отображение (функция), которое каждой точке плоскости ставит в соответствие некоторую точку этой же плоскости. Если точка $M$ переходит в точку $M'$, то $M'$ называют образом точки $M$, а $M$ — прообразом точки $M'$.

Существуют различные классы преобразований, которые отличаются сохраняемыми ими свойствами геометрических фигур. Основные из них:

1. Движение (Изометрия)

Движением или изометрическим преобразованием называется преобразование плоскости, сохраняющее расстояние между точками. Если точки $A$ и $B$ переходят в точки $A'$ и $B'$, то расстояние $AB$ равно расстоянию $A'B'$. Движения сохраняют не только расстояния, но и углы, параллельность прямых, а также переводят фигуры в равные (конгруэнтные) им фигуры.

Основные виды движений:

Параллельный перенос

Это преобразование, при котором все точки плоскости смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Задается вектором переноса $\vec{a}(a, b)$. Каждая точка $M(x, y)$ переходит в точку $M'(x', y')$ такую, что вектор $\vec{MM'} = \vec{a}$.

Формулы параллельного переноса: $x' = x + a$, $y' = y + b$.

Поворот

Это преобразование, задаваемое центром поворота $O$ и углом поворота $\alpha$. Каждая точка $M$ плоскости поворачивается вокруг точки $O$ на угол $\alpha$ в точку $M'$, при этом расстояние $OM$ равно $OM'$, а угол $\angle MOM'$ равен $\alpha$.

Формулы поворота вокруг начала координат $O(0, 0)$ на угол $\alpha$:
$x' = x \cos \alpha - y \sin \alpha$
$y' = x \sin \alpha + y \cos \alpha$

Симметрия (Отражение)

Различают осевую и центральную симметрию.

Осевая симметрия — это отражение относительно прямой $l$ (оси симметрии). Каждая точка $M$ переходит в такую точку $M'$, что прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $MM'$.

Центральная симметрия — это отражение относительно точки $O$ (центра симметрии). Каждая точка $M$ переходит в такую точку $M'$, что точка $O$ является серединой отрезка $MM'$. Центральная симметрия является частным случаем поворота на $180^\circ$.

2. Преобразование подобия

Это преобразование, при котором для любых двух точек $A$ и $B$ и их образов $A'$ и $B'$ выполняется соотношение $A'B' = k \cdot AB$, где $k$ — постоянное положительное число, называемое коэффициентом подобия. Преобразования подобия сохраняют углы, но изменяют длины. Фигуры переводятся в подобные им фигуры. Движение является частным случаем подобия с коэффициентом $k=1$.

Гомотетия

Это центральное преобразование подобия. Оно задается центром гомотетии $O$ и коэффициентом $k \neq 0$. Каждая точка $M$ переходит в точку $M'$ на прямой $OM$ такую, что $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$.

Формулы гомотетии с центром в начале координат $O(0, 0)$: $x' = kx$, $y' = ky$.

3. Аффинные преобразования

Это более общий класс преобразований, который включает в себя движения и подобия. Аффинные преобразования сохраняют коллинеарность точек (точки, лежащие на одной прямой, переходят в точки, также лежащие на одной прямой) и параллельность прямых. Отношения длин отрезков, лежащих на параллельных прямых, также сохраняются.

Общие формулы аффинного преобразования:
$x' = a_{11}x + a_{12}y + b_1$
$y' = a_{21}x + a_{22}y + b_2$
при условии, что определитель матрицы $ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} $ не равен нулю: $a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \neq 0$.

Примерами аффинных преобразований, не являющихся подобиями, являются сдвиг (shear) и неравномерное сжатие/растяжение.

Ответ:

Преобразование плоскости — это отображение, которое сопоставляет каждой точке плоскости некоторую другую точку. Ключевые типы преобразований классифицируются по сохраняемым ими геометрическим свойствам:
1. Движения (изометрии) — сохраняют расстояния и углы. Включают параллельный перенос, поворот и симметрию. Они переводят фигуры в конгруэнтные.
2. Преобразования подобия — изменяют все расстояния в одно и то же число раз (коэффициент подобия $k$), сохраняя при этом углы. Основной пример — гомотетия. Они переводят фигуры в подобные.
3. Аффинные преобразования — более общий класс, сохраняющий параллельность прямых и отношение длин параллельных отрезков. Движения и подобия являются частными случаями аффинных преобразований.
Таким образом, эти классы преобразований образуют иерархию: движения ⊂ подобия ⊂ аффинные преобразования.