Номер 16, страница 164 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

16. Что называют направляющим вектором, вектором нормали? Напишите уравнение прямой.

Что называют направляющим вектором, вектором нормали?

В аналитической геометрии для задания прямой на плоскости или в пространстве используются специальные векторы, которые определяют ее ориентацию.

Направляющий вектор прямой — это любой ненулевой вектор, который параллелен (коллинеарен) данной прямой. Он задает направление прямой. Если прямая проходит через точки A и B, то вектор $\vec{AB}$ является ее направляющим вектором. Обычно направляющий вектор обозначают как $\vec{s}$, $\vec{p}$ или $\vec{q}$. На плоскости его координаты записывают как $\vec{s} = (l, m)$.

Вектор нормали (или нормальный вектор) прямой — это любой ненулевой вектор, который перпендикулярен (ортогонален) данной прямой. Вектор нормали однозначно определяет наклон прямой. Обычно вектор нормали обозначают как $\vec{n}$. На плоскости его координаты записывают как $\vec{n} = (A, B)$.

Если известен направляющий вектор прямой $\vec{s} = (l, m)$, то один из векторов нормали для этой прямой будет иметь координаты $\vec{n} = (-m, l)$ или $\vec{n} = (m, -l)$, так как их скалярное произведение равно нулю: $l \cdot (-m) + m \cdot l = 0$.

Ответ: Направляющий вектор – это ненулевой вектор, параллельный прямой. Вектор нормали – это ненулевой вектор, перпендикулярный прямой.

Напишите уравнение прямой.

Существует несколько форм записи уравнения прямой на плоскости, в зависимости от исходных данных.

1. Каноническое уравнение прямой
Это уравнение составляется, если известна точка $M_0(x_0, y_0)$, через которую проходит прямая, и ее направляющий вектор $\vec{s} = (l, m)$. Уравнение имеет вид: $$ \frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} $$ Оно выражает пропорциональность координат направляющего вектора $\vec{s}$ и вектора $\vec{M_0M} = (x-x_0, y-y_0)$ для любой точки $M(x,y)$ на прямой.

2. Параметрические уравнения прямой
Также используются точка на прямой $M_0(x_0, y_0)$ и направляющий вектор $\vec{s} = (l, m)$. Переменная $t$ называется параметром. Каждому значению $t \in (-\infty, +\infty)$ соответствует одна точка на прямой. Уравнения имеют вид системы: $$ \begin{cases} x = x_0 + lt \\ y = y_0 + mt \end{cases} $$

3. Общее уравнение прямой
Это уравнение напрямую связано с вектором нормали $\vec{n} = (A, B)$. Оно задает прямую как множество точек $M(x,y)$, для которых вектор $\vec{M_0M}$ ортогонален вектору нормали $\vec{n}$. Уравнение имеет вид: $$ Ax + By + C = 0 $$ Здесь коэффициенты $A$ и $B$ являются координатами вектора нормали $\vec{n} = (A, B)$. Свободный член $C$ зависит от конкретной точки, через которую проходит прямая ($C = -Ax_0 - By_0$).

4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Это частный случай общего уравнения, разрешенного относительно $y$. $$ y = kx + b $$ Здесь $k$ — угловой коэффициент (тангенс угла наклона прямой к оси Ox), $b$ — ордината точки пересечения прямой с осью Oy. Угловой коэффициент связан с направляющим вектором $\vec{s}=(l,m)$ как $k = \frac{m}{l}$, а с вектором нормали $\vec{n}=(A,B)$ как $k = -\frac{A}{B}$.

Ответ: Основные виды уравнений прямой на плоскости:

• Каноническое: $\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m}$
• Параметрические: $\begin{cases} x = x_0 + lt \\ y = y_0 + mt \end{cases}$
• Общее: $Ax + By + C = 0$
• С угловым коэффициентом: $y = kx + b$