Номер 23, страница 165 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

23. Что вы знаете о признаках подобия треугольников?

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого. Соответственными сторонами называются стороны, лежащие против равных углов.

Отношение соответственных сторон называется коэффициентом подобия, который обозначается буквой $k$.

То есть, если треугольник $ABC$ подобен треугольнику $A_1B_1C_1$ (что записывается как $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$), то выполняются следующие условия:
$\angle A = \angle A_1, \angle B = \angle B_1, \angle C = \angle C_1$
$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k$

Признаки подобия треугольников — это теоремы, позволяющие установить подобие двух треугольников по меньшему числу элементов, не проверяя все условия из определения. Существует три основных признака подобия.

Первый признак подобия треугольников (по двум углам)

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Если $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$, то $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$. Это следует из того, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому и третьи углы будут равны: $\angle C = \angle C_1$.

Ответ: Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Второй признак подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Если стороны $AB$ и $AC$ пропорциональны сторонам $A_1B_1$ и $A_1C_1$, то есть $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$, и угол между ними $\angle A = \angle A_1$, то $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Ответ: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.

Третий признак подобия треугольников (по трем сторонам)

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Если $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$, то $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Ответ: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.