Номер 30, страница 165 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

30. Какие свойства хорд и дуг, опирающихся на них, вы знаете?

1. Равенство хорд и стягиваемых ими дуг

В одной и той же окружности или в равных окружностях:
а) Если хорды равны, то и дуги, которые они стягивают, равны.
б) Если дуги равны, то и хорды, которые их стягивают, равны.

На рисунке показаны две равные хорды $AB$ и $CD$. Следовательно, дуги, стягиваемые этими хордами (меньшие дуги), также равны: $\text{дуга } AB = \text{дуга } CD$.

Ответ: В одной окружности или в равных окружностях равные хорды стягивают равные дуги, и наоборот, равные дуги стягиваются равными хордами.

2. Свойство диаметра, перпендикулярного хорде

Диаметр (или радиус), перпендикулярный хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам.

На рисунке диаметр $CD$ перпендикулярен хорде $AB$ в точке $M$. Из этого следует, что:
- Отрезки хорды равны: $AM = MB$.
- Меньшая дуга $AB$ делится пополам: $\text{дуга } AC = \text{дуга } CB$.
- Большая дуга $AB$ также делится пополам: $\text{дуга } AD = \text{дуга } DB$.

Ответ: Диаметр, перпендикулярный хорде, делит пополам и хорду, и стягиваемые ею дуги.

3. Расстояние от центра до хорд

В одной и той же окружности или в равных окружностях:
а) Равные хорды находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности.
б) Хорды, находящиеся на одинаковом расстоянии от центра, равны.

На рисунке показаны две равные хорды $AB$ и $CD$. Расстояние от центра $O$ до хорды $AB$ — это длина перпендикуляра $OM$, а до хорды $CD$ — длина перпендикуляра $ON$. Так как $AB = CD$, то $OM = ON$.

Ответ: Равные хорды равноудалены от центра окружности, и наоборот, хорды, равноудаленные от центра, равны.

4. Дуги, заключенные между параллельными хордами

Дуги, заключенные между двумя параллельными хордами, равны.

На рисунке хорды $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$). Следовательно, дуги $AC$ и $BD$, заключенные между ними, равны: $\text{дуга } AC = \text{дуга } BD$.

Ответ: Дуги окружности, заключенные между двумя параллельными хордами, равны.

5. Свойство пересекающихся хорд

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

На рисунке хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$. Согласно теореме о пересекающихся хордах, выполняется равенство: $AP \cdot PB = CP \cdot PD$

Ответ: Произведение отрезков, на которые точка пересечения делит одну хорду, равно произведению отрезков, на которые она делит другую хорду.

6. Угол между пересекающимися хордами

Угол, образованный двумя пересекающимися хордами, равен половине суммы угловых величин дуг, заключенных между его сторонами и сторонами вертикального ему угла.

На рисунке хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$. Угол $\angle APD$ и вертикальный ему угол $\angle CPB$ высекают на окружности дуги $AD$ и $CB$. Величина угла $\angle APD$ вычисляется по формуле: $\angle APD = \frac{1}{2} (\text{дуга } AD + \text{дуга } CB)$

Ответ: Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме дуг, которые высекают на окружности этот угол и вертикальный ему угол.