Номер 32, страница 165 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

32. Что такое вписанный в окружность угол, центральный угол? Какие их свойства вы знаете?

Рассмотрим понятия центрального и вписанного углов и их свойства на примере иллюстрации.

Центральный угол

Центральный угол — это угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами этой окружности. На рисунке угол $AOC$, обозначенный как $\alpha$, является центральным. Его вершина находится в центре $O$, а стороны $OA$ и $OC$ — радиусы.

Свойство центрального угла: его градусная мера равна градусной мере дуги, на которую он опирается. Таким образом, $\angle AOC = \smile AC$. Это означает, что если дуга $AC$ имеет меру $90^\circ$, то и центральный угол $\alpha$ равен $90^\circ$.

Ответ: Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности, образованный двумя радиусами. Его мера равна мере дуги, на которую он опирается.

Вписанный угол

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами этой окружности (то есть пересекают окружность). На рисунке угол $ABC$, обозначенный как $\beta$, является вписанным. Его вершина $B$ лежит на окружности, а стороны $BA$ и $BC$ — хорды.

Свойства вписанного угла:
1. Теорема о вписанном угле: величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается. Для нашего рисунка: $\angle ABC = \frac{1}{2} \smile AC$.
2. Связь с центральным углом: из свойств обоих углов следует, что вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. На рисунке это выражается формулой $\beta = \frac{\alpha}{2}$.
3. Равенство углов: вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу, равны между собой.
4. Угол, опирающийся на диаметр: вписанный угол, опирающийся на диаметр (дугу в $180^\circ$), является прямым, то есть его величина составляет $90^\circ$.

Ответ: Вписанный угол — угол с вершиной на окружности, образованный двумя хордами. Его мера равна половине дуги, на которую он опирается. Следствия: вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны; вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.