Номер 28, страница 165 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

28. Какие свойства касательной вы знаете?

Касательная — это прямая, которая «касается» кривой (например, окружности или графика функции) в одной точке, не пересекая её в непосредственной близости от этой точки. Основные свойства касательной зависят от вида кривой.

Свойства касательной к окружности

В геометрии касательная к окружности — это прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называемую точкой касания.

1. Свойство перпендикулярности радиуса и касательной

Касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу, который проведен в точку касания.

На рисунке показана окружность с центром в точке О, касательная a, которая касается окружности в точке А. Радиус ОА перпендикулярен касательной a, то есть угол между ними составляет 90°. Математически это записывается как $OA \perp a$. Также верно и обратное утверждение: прямая, проходящая через точку на окружности и перпендикулярная радиусу, проведенному в эту точку, является касательной.

Ответ: Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

2. Свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки

Если из точки, лежащей вне окружности, провести две касательные к этой окружности, то длины отрезков от этой точки до точек касания будут равны.

На рисунке из точки P проведены две касательные к окружности с центром O. Точки А и B — точки касания. Согласно свойству, длины отрезков PA и PB равны: $PA = PB$. Кроме того, луч PO является биссектрисой угла APB.

Ответ: Отрезки касательных, проведенные к окружности из одной внешней точки, равны между собой.

3. Свойство угла между касательной и хордой

Угол, образованный касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине градусной меры дуги, которую стягивает эта хорда. Этот угол также равен любому вписанному углу, который опирается на эту дугу.

На рисунке касательная a проходит через точку A. Хорда AB также проходит через точку A. Угол $\alpha$ между касательной a и хордой AB равен вписанному углу $\angle ACB$, который опирается на дугу AB.

Ответ: Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен вписанному углу, опирающемуся на дугу, заключенную между ними.

Свойства касательной к графику функции

В математическом анализе свойства касательной тесно связаны с понятием производной функции.

1. Геометрический смысл производной

Значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику этой функции в точке $(x_0, f(x_0))$.

Угловой коэффициент касательной $k$ в точке $x_0$ вычисляется как $k = f'(x_0)$. Этот коэффициент также равен тангенсу угла $\alpha$, который касательная образует с положительным направлением оси Ox: $k = \tan(\alpha)$.

Ответ: Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке равен значению производной функции в этой же точке.

2. Уравнение касательной

Используя точку касания $(x_0, y_0)$, где $y_0 = f(x_0)$, и угловой коэффициент $k = f'(x_0)$, можно записать уравнение касательной. Оно выводится из общего уравнения прямой, проходящей через заданную точку с известным угловым коэффициентом: $y - y_0 = k(x - x_0)$.

Подставив значения, получаем стандартную формулу уравнения касательной:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Эта формула позволяет найти уравнение прямой, которая наилучшим образом аппроксимирует функцию вблизи точки касания.

Ответ: Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ задается формулой $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.