Страница 165 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

18. Что такое центральная симметрия, что такое осевая симметрия?

Что такое центральная симметрия
Центральная симметрия — это вид симметрии, при котором фигура или точка преобразуется относительно некоторой фиксированной точки, называемой центром симметрии.
Преобразование точки происходит следующим образом: пусть есть центр симметрии — точка $O$, и любая другая точка $A$. Точка $A'$, симметричная точке $A$ относительно центра $O$, лежит на прямой, проходящей через точки $A$ и $O$, причём точка $O$ является серединой отрезка $AA'$. Это означает, что расстояния от центра до обеих точек равны: $AO = OA'$. Такое преобразование также называют поворотом на 180 градусов вокруг центра $O$.

Фигура называется центрально-симметричной, если для каждой точки этой фигуры симметричная ей точка относительно центра также принадлежит этой фигуре. Примерами центрально-симметричных фигур являются окружность (центр симметрии — центр окружности), параллелограмм (центр симметрии — точка пересечения диагоналей), правильные многоугольники с чётным числом сторон. Центральная симметрия является движением, то есть сохраняет расстояния между точками.

Ответ: Центральная симметрия (или симметрия относительно точки) — это такое преобразование плоскости, при котором каждая точка $A$ переходит в такую точку $A'$, что заданная точка $O$ (центр симметрии) является серединой отрезка $AA'$.

Что такое осевая симметрия
Осевая симметрия — это вид симметрии, при котором фигура или точка преобразуется относительно некоторой фиксированной прямой, называемой осью симметрии. Это преобразование также называют отражением.
Преобразование точки происходит так: пусть есть ось симметрии — прямая $l$, и любая точка $A$, не лежащая на этой прямой. Точка $A'$, симметричная точке $A$ относительно оси $l$, строится таким образом, что отрезок $AA'$ перпендикулярен прямой $l$ и делится ею пополам. То есть, прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AA'$. Если точка $A$ лежит на оси $l$, то она считается симметричной самой себе.

Фигура называется симметричной относительно оси $l$, если для каждой точки этой фигуры симметричная ей точка относительно оси $l$ также принадлежит этой фигуре. Примерами фигур с осевой симметрией являются равнобедренный треугольник (одна ось симметрии), прямоугольник (две оси), ромб (две оси), окружность (бесконечное множество осей, проходящих через её центр). Осевая симметрия, как и центральная, является движением, то есть сохраняет расстояния.

Ответ: Осевая симметрия (или симметрия относительно прямой) — это такое преобразование плоскости, при котором каждая точка $A$ переходит в такую точку $A'$, что заданная прямая $l$ (ось симметрии) является серединным перпендикуляром к отрезку $AA'$.

19. Что такое параллельный перенос, поворот?

Параллельный перенос

Параллельный перенос — это преобразование плоскости (или пространства), при котором все точки сдвигаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Это один из видов движения (изометрии), то есть преобразование, сохраняющее расстояния между точками.

Параллельный перенос задается вектором, который называется вектором переноса. Пусть задан вектор $\vec{a}$. Параллельный перенос на вектор $\vec{a}$ — это такое отображение плоскости на себя, при котором каждая точка $M$ переходит в такую точку $M'$, что вектор $\vec{MM'}$ равен вектору $\vec{a}$.

Если точка $M$ имеет координаты $(x, y)$, а вектор переноса $\vec{a}$ имеет координаты $(a_1, a_2)$, то точка $M'$, в которую переходит точка $M$, будет иметь координаты $(x', y')$, которые вычисляются по формулам:

$x' = x + a_1$

$y' = y + a_2$

Свойства параллельного переноса:

• Сохраняет расстояния между точками (является движением).
• Прямая переходит в параллельную ей прямую или в саму себя.
• Любая фигура переходит в равную ей фигуру.
• Сохраняется ориентация фигур (направление обхода вершин).
• При параллельном переносе на ненулевой вектор нет неподвижных точек.

Ответ: Параллельный перенос на заданный вектор $\vec{a}$ — это преобразование, при котором каждая точка $M$ фигуры отображается на такую точку $M'$, что вектор $\vec{MM'}$ равен вектору $\vec{a}$.

Поворот

Поворот — это преобразование плоскости (или пространства), при котором все точки поворачиваются на один и тот же угол вокруг некоторой фиксированной точки, называемой центром поворота. Это также один из видов движения (изометрии).

Поворот задается центром поворота $O$ и углом поворота $\alpha$. При повороте вокруг точки $O$ на угол $\alpha$ любая точка $M$ переходит в такую точку $M'$, что выполняются два условия:

1. Расстояния от центра поворота до исходной и конечной точек равны: $OM = OM'$.
2. Угол между лучами $OM$ и $OM'$ равен углу поворота: $\angle MOM' = \alpha$.

Направление поворота может быть по часовой стрелке или против часовой стрелки. В математике принято считать положительным направлением поворот против часовой стрелки.

Если поворот осуществляется вокруг начала координат $(0, 0)$ на угол $\alpha$ против часовой стрелки, то точка с координатами $(x, y)$ переходит в точку с координатами $(x', y')$, которые находятся по формулам:

$x' = x \cos \alpha - y \sin \alpha$

$y' = x \sin \alpha + y \cos \alpha$

Свойства поворота:

• Сохраняет расстояния между точками (является движением).
• Единственная неподвижная точка — это центр поворота (если угол поворота не кратен $360^\circ$).
• Прямая, проходящая через центр поворота, переходит в прямую, также проходящую через центр поворота.
• Любая фигура переходит в равную ей фигуру.
• Сохраняется ориентация фигур.

Ответ: Поворот плоскости вокруг точки $O$ на угол $\alpha$ — это преобразование, при котором каждая точка $M$ отображается на такую точку $M'$, что $OM = OM'$ и угол $\angle MOM'$ равен $\alpha$.

20. Какое преобразование называется движением? Какая связь между движением и наложением?

Какое преобразование называется движением?

Движением (или изометрией) в геометрии называется такое преобразование плоскости или пространства, при котором сохраняются расстояния между точками. Это означает, что если произвольные точки $M$ и $N$ переходят в точки $M'$ и $N'$, то расстояние между образами $M'$ и $N'$ равно расстоянию между исходными точками $M$ и $N$, то есть $MN = M'N'$.

Основное свойство движения заключается в том, что оно сохраняет форму и размеры геометрических фигур, а также углы между прямыми. Любая фигура при движении переходит в равную (конгруэнтную) ей фигуру. К основным видам движений на плоскости относятся параллельный перенос, поворот и симметрия (осевая и центральная).

Ответ: Движением называется преобразование плоскости, сохраняющее расстояния между точками.

Какая связь между движением и наложением?

Связь между этими понятиями заключается в том, что движение является строгой математической формализацией интуитивного понятия наложения. Наложение — это мысленный прием, используемый в геометрии для определения равенства фигур. Он заключается в том, что одну фигуру мысленно перемещают и накладывают на другую, чтобы проверить, совпадают ли они.

Движение как математическое преобразование точно описывает этот процесс «перемещения без искажения». Таким образом, когда говорят, что две фигуры можно совместить наложением, это равносильно утверждению, что существует движение, которое отображает одну фигуру на другую. То есть наложение — это интуитивная основа, а движение — ее формальное, математически строгое выражение.

Ответ: Движение является строгим математическим определением (формализацией) интуитивного понятия наложения. Утверждение, что одну фигуру можно наложить на другую, равносильно утверждению, что существует движение, которое переводит одну фигуру в другую.

21. Какое преобразование называется преобразованием подобия? Что такое коэффициент подобия?

Преобразованием подобия называется такое преобразование фигуры $F$ в фигуру $F'$, при котором для любых двух точек $M$ и $N$ фигуры $F$ и их соответствующих образов $M'$ и $N'$ в фигуре $F'$ выполняется соотношение $M'N' = k \cdot MN$, где $k$ — это некоторое постоянное положительное число. Иными словами, преобразование подобия — это преобразование, которое сохраняет форму фигуры, но может изменять её размеры. Важным свойством преобразования подобия является сохранение углов между соответствующими линиями.
Ответ: Преобразованием подобия называется преобразование, при котором расстояния между любыми точками изменяются в одно и то же число раз.

Коэффициент подобия — это то самое положительное число $k$ из определения преобразования подобия. Оно показывает, во сколько раз расстояние между точками преобразованной фигуры больше или меньше расстояния между соответствующими точками исходной фигуры. Коэффициент подобия можно найти как отношение длин соответствующих отрезков: $k = \frac{M'N'}{MN}$.
В зависимости от значения коэффициента $k$:
• Если $k > 1$, фигура увеличивается (происходит растяжение).
• Если $0 < k < 1$, фигура уменьшается (происходит сжатие).
• Если $k = 1$, преобразование подобия является движением (изометрией), то есть сохраняет расстояния, и фигуры называются равными или конгруэнтными.
Ответ: Коэффициент подобия — это число, показывающее отношение длин соответствующих отрезков в подобных фигурах.

22. Расскажите о гомотетии. Какие ее свойства вы знаете? Что называется центром гомотетии, коэффициентом гомотетии?

Расскажите о гомотетии.

Гомотетия (от греческих слов ὁμός — «одинаковый» и θετός — «расположенный») — это один из видов геометрических преобразований плоскости или пространства. Гомотетия является преобразованием подобия, что означает, что она переводит любую геометрическую фигуру в подобную ей фигуру.

Это преобразование определяется двумя параметрами: точкой $O$, называемой центром гомотетии, и действительным числом $k \neq 0$, называемым коэффициентом гомотетии. Гомотетия с центром $O$ и коэффициентом $k$ переводит каждую точку $M$ плоскости (или пространства) в точку $M'$ таким образом, что выполняется следующее векторное равенство: $ \vec{OM'} = k \cdot \vec{OM} $

Данное равенство означает, что три точки — центр $O$, исходная точка $M$ и ее образ $M'$ — всегда лежат на одной прямой. Если коэффициент $k$ положителен ($k>0$), то точки $M$ и $M'$ располагаются по одну сторону от центра $O$. Такую гомотетию называют прямой. Если же коэффициент $k$ отрицателен ($k<0$), то точки $M$ и $M'$ располагаются по разные стороны от центра $O$, и гомотетия называется обратной.

Ответ: Гомотетия — это геометрическое преобразование подобия, которое "растягивает" или "сжимает" фигуры относительно заданной точки (центра) с определенным коэффициентом. Каждая точка $M$ переходит в точку $M'$ по правилу $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$, где $O$ — центр, а $k$ — коэффициент гомотетии.

Что называется центром гомотетии, коэффициентом гомотетии?

Центр гомотетии — это неподвижная точка $O$, относительно которой выполняется преобразование. Все прямые, проходящие через любую точку и ее образ, пересекаются в центре гомотетии. Сама точка $O$ при гомотетии переходит в себя ($ \vec{OO'} = k \cdot \vec{OO} = \vec{0} $).

Коэффициент гомотетии — это действительное число $k \neq 0$, которое определяет масштаб преобразования и его направление.

• Величина $|k|$ (модуль коэффициента) показывает, во сколько раз изменяется расстояние от центра гомотетии до любой точки: $OM' = |k| \cdot OM$.
  • Если $|k| > 1$, происходит увеличение расстояний (растяжение).
  • Если $0 < |k| < 1$, происходит уменьшение расстояний (сжатие).
• Знак коэффициента $k$ определяет направление:
  • При $k > 0$ (прямая гомотетия) точка-образ $M'$ лежит на луче $OM$.
  • При $k < 0$ (обратная гомотетия) точка-образ $M'$ лежит на луче, дополнительном к лучу $OM$.
• Частные случаи:
  • $k=1$ — тождественное преобразование (каждая точка остается на месте).
  • $k=-1$ — центральная симметрия относительно центра $O$.

Ответ: Центр гомотетии — это фиксированная точка, относительно которой происходит преобразование. Коэффициент гомотетии — это число, не равное нулю, которое задает масштаб и направление преобразования для каждой точки.

Какие ее свойства вы знаете?

Гомотетия обладает рядом важных свойств:

1. Гомотетия — преобразование подобия. Любая фигура переходит в подобную ей фигуру. Коэффициент подобия равен $|k|$.
2. Прямая переходит в параллельную прямую. Образом прямой при гомотетии является прямая, параллельная исходной. Исключение: прямая, проходящая через центр гомотетии, переходит сама в себя.
3. Сохранение углов. Гомотетия сохраняет величину углов между прямыми.
4. Изменение расстояний. Расстояние между образами любых двух точек $A'$ и $B'$ равно произведению расстояния между исходными точками $A$ и $B$ на модуль коэффициента гомотетии: $A'B' = |k| \cdot AB$.
5. Изменение площадей и объемов. Площадь фигуры-образа $S'$ связана с площадью исходной фигуры $S$ соотношением $S' = k^2 \cdot S$. Объем фигуры-образа $V'$ связан с объемом исходной фигуры $V$ соотношением $V' = |k|^3 \cdot V$.
6. Композиция гомотетий. Последовательное применение двух гомотетий с общим центром $O$ и коэффициентами $k_1$ и $k_2$ равносильно одной гомотетии с тем же центром $O$ и коэффициентом $k = k_1 \cdot k_2$.
7. Обратное преобразование. Для любой гомотетии с коэффициентом $k$ существует обратное преобразование, которое также является гомотетией с тем же центром и коэффициентом $1/k$.

На рисунке ниже показан пример гомотетии треугольника $ABC$ с коэффициентом $k=1.5$. Треугольник $A'B'C'$ подобен треугольнику $ABC$.

Ответ: Ключевые свойства гомотетии: она является преобразованием подобия, переводит прямые в параллельные им прямые, сохраняет углы, изменяет расстояния в $|k|$ раз, площади в $k^2$ раз, а объемы в $|k|^3$ раз.

23. Что вы знаете о признаках подобия треугольников?

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого. Соответственными сторонами называются стороны, лежащие против равных углов.

Отношение соответственных сторон называется коэффициентом подобия, который обозначается буквой $k$.

То есть, если треугольник $ABC$ подобен треугольнику $A_1B_1C_1$ (что записывается как $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$), то выполняются следующие условия:
$\angle A = \angle A_1, \angle B = \angle B_1, \angle C = \angle C_1$
$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k$

Признаки подобия треугольников — это теоремы, позволяющие установить подобие двух треугольников по меньшему числу элементов, не проверяя все условия из определения. Существует три основных признака подобия.

Первый признак подобия треугольников (по двум углам)

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Если $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$, то $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$. Это следует из того, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому и третьи углы будут равны: $\angle C = \angle C_1$.

Ответ: Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Второй признак подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Если стороны $AB$ и $AC$ пропорциональны сторонам $A_1B_1$ и $A_1C_1$, то есть $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$, и угол между ними $\angle A = \angle A_1$, то $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Ответ: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.

Третий признак подобия треугольников (по трем сторонам)

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Если $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$, то $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Ответ: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

24. Назовите признаки подобия прямоугольного треуголь-

ника.

Признаки подобия прямоугольных треугольников являются частными случаями общих признаков подобия треугольников. Это связано с тем, что у всех прямоугольных треугольников по определению есть один равный угол — прямой, равный $90^\circ$.

Существует три основных признака подобия для прямоугольных треугольников:

1. По острому углу
Два прямоугольных треугольника подобны, если острый угол одного треугольника равен острому углу другого.
Пояснение: Этот признак является следствием первого признака подобия треугольников (по двум углам). Пусть даны два прямоугольных треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, в которых углы $\angle C$ и $\angle C_1$ — прямые. Если у них есть по равному острому углу, например $\angle A = \angle A_1$, то, поскольку $\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$, треугольники подобны по двум углам.
Ответ:

2. По двум пропорциональным катетам
Два прямоугольных треугольника подобны, если два катета одного треугольника пропорциональны двум катетам другого.
Пояснение: Этот признак является следствием второго признака подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними). В прямоугольных треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ угол между катетами ($AC$, $BC$ и $A_1C_1$, $B_1C_1$) всегда прямой, то есть $\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$. Если катеты пропорциональны, то есть выполняется соотношение $\frac{AC}{A_1C_1} = \frac{BC}{B_1C_1}$, то треугольники подобны по двум сторонам и углу между ними.
Ответ:

3. По пропорциональным катету и гипотенузе
Два прямоугольных треугольника подобны, если катет и гипотенуза одного треугольника пропорциональны катету и гипотенузе другого.
Пояснение: Пусть в прямоугольных треугольниках $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) и $\triangle A_1B_1C_1$ ($\angle C_1 = 90^\circ$) катет и гипотенуза пропорциональны, то есть $\frac{AC}{A_1C_1} = \frac{AB}{A_1B_1} = k$, где $k$ — коэффициент подобия. По теореме Пифагора, $BC = \sqrt{AB^2 - AC^2}$ и $B_1C_1 = \sqrt{A_1B_1^2 - A_1C_1^2}$. Найдем отношение вторых катетов: $\frac{BC}{B_1C_1} = \frac{\sqrt{(k \cdot A_1B_1)^2 - (k \cdot A_1C_1)^2}}{\sqrt{A_1B_1^2 - A_1C_1^2}} = \frac{\sqrt{k^2(A_1B_1^2 - A_1C_1^2)}}{\sqrt{A_1B_1^2 - A_1C_1^2}} = k$. Таким образом, все три стороны треугольников пропорциональны: $\frac{AC}{A_1C_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AB}{A_1B_1} = k$. Следовательно, треугольники подобны по третьему признаку подобия (по трем сторонам).
Ответ:

25. Какие свойства биссектрисы треугольника вы знаете?

Биссектриса угла треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делящий соответствующий угол на два равных угла. Биссектрисы треугольника обладают рядом важных свойств.

1. Теорема о биссектрисе (пропорциональные отрезки)

Биссектриса любого угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам (прилежащим к этому углу).

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором проведена биссектриса $AD$ из вершины $A$ к стороне $BC$. Пусть стороны $AB = c$ и $AC = b$. Биссектриса делит сторону $BC$ на отрезки $BD$ и $DC$. Согласно теореме, их отношение равно отношению прилежащих сторон:
$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$ или $\frac{BD}{DC} = \frac{c}{b}$.

Ответ: Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон.

2. Точка пересечения биссектрис (инцентр)

Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка называется инцентром или центром вписанной в треугольник окружности.

Свойство инцентра заключается в том, что он равноудален от всех трех сторон треугольника. Расстояние от инцентра до каждой из сторон является радиусом $r$ вписанной окружности.

Ответ: Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной в этот треугольник окружности.

3. Формула для вычисления длины биссектрисы

Длину биссектрисы $l_a$, проведенной из вершины $A$ к стороне $a$, можно найти по нескольким формулам.
Одна из самых известных формул связывает длину биссектрисы с длинами сторон треугольника ($b$ и $c$) и отрезками ($a_1$ и $a_2$), на которые она делит противолежащую сторону $a$:
$l_a^2 = bc - a_1a_2$
Также существует формула через стороны треугольника $a, b, c$ и полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2}$:
$l_a = \frac{2}{b+c}\sqrt{bcp(p-a)}$
Или через косинус угла, который она делит:
$l_a = \frac{2bc \cos(\frac{A}{2})}{b+c}$

Ответ: Квадрат длины биссектрисы равен произведению прилежащих к ней сторон минус произведение отрезков, на которые она делит противолежащую сторону.

4. Угол между биссектрисами

Угол, образованный двумя биссектрисами, проведенными из двух вершин треугольника, можно вычислить через угол третьей вершины.
Например, если биссектрисы углов $B$ и $C$ пересекаются в точке $I$, то угол между ними $\angle BIC$ вычисляется по формуле:
$\angle BIC = 90^\circ + \frac{\angle A}{2}$

Ответ: Угол между двумя внутренними биссектрисами треугольника равен $90^\circ$ плюс половина третьего угла.

5. Свойства биссектрисы в специальных видах треугольников

В некоторых треугольниках биссектриса обладает дополнительными свойствами.
- В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также его медианой (делит основание пополам) и высотой (перпендикулярна основанию).
- В равностороннем треугольнике все три биссектрисы являются одновременно и медианами, и высотами.

Ответ: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, совпадает с медианой и высотой; в равностороннем треугольнике все три биссектрисы являются также медианами и высотами.

26. Расскажите о пропорциональных отрезках в окружности. Какие их свойства вы знаете?

В окружности существует несколько важных свойств, связывающих длины отрезков хорд, секущих и касательных. Эти свойства основаны на подобии треугольников, которые образуются при пересечении этих линий.

1. Свойство пересекающихся хорд

Теорема: Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Рассмотрим две хорды $AB$ и $CD$, пересекающиеся в точке $P$.

Доказательство: Соединим точки $A$ и $C$, а также $B$ и $D$. Рассмотрим треугольники $\triangle APC$ и $\triangle DPB$.
1. Углы $\angle APC$ и $\angle DPB$ равны как вертикальные.
2. Углы $\angle CAP$ (он же $\angle CAB$) и $\angle BDP$ (он же $\angle CDB$) равны, так как они являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу $CB$.
Следовательно, треугольники $\triangle APC$ и $\triangle DPB$ подобны по двум углам. Из подобия следует пропорциональность сторон:
$\frac{AP}{DP} = \frac{CP}{BP}$
Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:
$AP \cdot BP = CP \cdot DP$

Ответ: $AP \cdot BP = CP \cdot DP$

2. Свойство касательной и секущей

Теорема: Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины отрезка касательной от данной точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от данной точки до точек её пересечения с окружностью.

Рассмотрим точку $P$ вне окружности, из которой проведены касательная $PC$ (где $C$ — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках $A$ и $B$.

Доказательство: Соединим точки $A$ и $C$, а также $B$ и $C$. Рассмотрим треугольники $\triangle PAC$ и $\triangle PCB$.
1. Угол $\angle P$ является общим для обоих треугольников.
2. Угол $\angle PCA$ образован касательной $PC$ и хордой $AC$. Его величина равна половине дуги $AC$. Угол $\angle PBC$ (он же $\angle ABC$) — вписанный и также опирается на дугу $AC$, следовательно, он тоже равен половине дуги $AC$. Таким образом, $\angle PCA = \angle PBC$.
Следовательно, треугольники $\triangle PAC$ и $\triangle PCB$ подобны по двум углам. Из подобия следует пропорциональность сторон:
$\frac{PA}{PC} = \frac{PC}{PB}$
Отсюда получаем:
$PC^2 = PA \cdot PB$

Ответ: $PC^2 = PA \cdot PB$

3. Свойство двух секущих

Теорема: Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение длины одной секущей на её внешнюю часть равно произведению длины другой секущей на её внешнюю часть.

Рассмотрим точку $P$ вне окружности, из которой проведены две секущие, пересекающие окружность в точках $A, B$ и $C, D$ соответственно.

Доказательство: Соединим точки $A$ и $D$, а также $B$ и $C$. Рассмотрим треугольники $\triangle PAD$ и $\triangle PCB$.
1. Угол $\angle P$ является общим для обоих треугольников.
2. Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна $180^\circ$, то есть $\angle DAB + \angle DCB = 180^\circ$. Угол $\angle PCB$ является смежным с углом $\angle DCB$, поэтому $\angle PCB = 180^\circ - \angle DCB$. Из этих двух равенств следует, что $\angle DAB = \angle PCB$.
Следовательно, треугольники $\triangle PAD$ и $\triangle PCB$ подобны по двум углам. Из подобия следует пропорциональность сторон:
$\frac{PA}{PC} = \frac{PD}{PB}$
Отсюда получаем:
$PA \cdot PB = PC \cdot PD$

Ответ: $PA \cdot PB = PC \cdot PD$

27. Что такое окружность? Назовите ее основные элементы.

Что такое окружность?

Окружность — это геометрическая фигура на плоскости, представляющая собой замкнутую кривую, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной точки, называемой центром окружности. Сама окружность является границей круга — части плоскости, ограниченной этой окружностью.

Назовите ее основные элементы.

К основным элементам окружности относятся следующие понятия, проиллюстрированные на рисунке ниже:

Центр (O) — точка, от которой равноудалены все точки окружности.

Радиус (R) — отрезок, который соединяет центр окружности с любой её точкой. Также радиусом называют и длину этого отрезка.

Хорда — отрезок, который соединяет две любые точки на окружности.

Диаметр (D) — это хорда, которая проходит через центр окружности. Диаметр является самой длинной хордой. Его длина равна двум радиусам: $D = 2R$.

Дуга — часть окружности, которая заключена между двумя её точками.

Кроме того, важной характеристикой является длина окружности (L), которая вычисляется по формуле $L = 2\pi R$ или $L = \pi D$.

Ответ: Окружность — это замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от одной точки, называемой центром. Основные элементы окружности: центр, радиус, хорда, диаметр и дуга.

28. Какие свойства касательной вы знаете?

Касательная — это прямая, которая «касается» кривой (например, окружности или графика функции) в одной точке, не пересекая её в непосредственной близости от этой точки. Основные свойства касательной зависят от вида кривой.

Свойства касательной к окружности

В геометрии касательная к окружности — это прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называемую точкой касания.

1. Свойство перпендикулярности радиуса и касательной

Касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу, который проведен в точку касания.

На рисунке показана окружность с центром в точке О, касательная a, которая касается окружности в точке А. Радиус ОА перпендикулярен касательной a, то есть угол между ними составляет 90°. Математически это записывается как $OA \perp a$. Также верно и обратное утверждение: прямая, проходящая через точку на окружности и перпендикулярная радиусу, проведенному в эту точку, является касательной.

Ответ: Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

2. Свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки

Если из точки, лежащей вне окружности, провести две касательные к этой окружности, то длины отрезков от этой точки до точек касания будут равны.

На рисунке из точки P проведены две касательные к окружности с центром O. Точки А и B — точки касания. Согласно свойству, длины отрезков PA и PB равны: $PA = PB$. Кроме того, луч PO является биссектрисой угла APB.

Ответ: Отрезки касательных, проведенные к окружности из одной внешней точки, равны между собой.

3. Свойство угла между касательной и хордой

Угол, образованный касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине градусной меры дуги, которую стягивает эта хорда. Этот угол также равен любому вписанному углу, который опирается на эту дугу.

На рисунке касательная a проходит через точку A. Хорда AB также проходит через точку A. Угол $\alpha$ между касательной a и хордой AB равен вписанному углу $\angle ACB$, который опирается на дугу AB.

Ответ: Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен вписанному углу, опирающемуся на дугу, заключенную между ними.

Свойства касательной к графику функции

В математическом анализе свойства касательной тесно связаны с понятием производной функции.

1. Геометрический смысл производной

Значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику этой функции в точке $(x_0, f(x_0))$.

Угловой коэффициент касательной $k$ в точке $x_0$ вычисляется как $k = f'(x_0)$. Этот коэффициент также равен тангенсу угла $\alpha$, который касательная образует с положительным направлением оси Ox: $k = \tan(\alpha)$.

Ответ: Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке равен значению производной функции в этой же точке.

2. Уравнение касательной

Используя точку касания $(x_0, y_0)$, где $y_0 = f(x_0)$, и угловой коэффициент $k = f'(x_0)$, можно записать уравнение касательной. Оно выводится из общего уравнения прямой, проходящей через заданную точку с известным угловым коэффициентом: $y - y_0 = k(x - x_0)$.

Подставив значения, получаем стандартную формулу уравнения касательной:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Эта формула позволяет найти уравнение прямой, которая наилучшим образом аппроксимирует функцию вблизи точки касания.

Ответ: Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ задается формулой $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

29. Как может располагаться прямая относительно окружности?

Взаимное расположение прямой и окружности на плоскости определяется соотношением между радиусом окружности ($R$) и расстоянием от центра окружности до этой прямой ($d$). Существует три возможных варианта:

1. Прямая не пересекает окружность

Это происходит в том случае, когда расстояние от центра окружности до прямой больше, чем радиус окружности. Прямая и окружность не имеют общих точек.

Математически это условие записывается так: $d > R$.

Ответ: прямая и окружность не имеют общих точек.

2. Прямая касается окружности

Это происходит, когда расстояние от центра окружности до прямой в точности равно радиусу. В этом случае прямая и окружность имеют ровно одну общую точку, которая называется точкой касания. Сама прямая называется касательной к окружности.

Математически это условие записывается так: $d = R$.

Ответ: прямая и окружность имеют одну общую точку (прямая является касательной).

3. Прямая пересекает окружность

Это происходит, когда расстояние от центра окружности до прямой меньше, чем радиус. В этом случае прямая и окружность имеют две общие точки. Такая прямая называется секущей.

Математически это условие записывается так: $d < R$.

Ответ: прямая и окружность имеют две общие точки (прямая является секущей).

30. Какие свойства хорд и дуг, опирающихся на них, вы знаете?

1. Равенство хорд и стягиваемых ими дуг

В одной и той же окружности или в равных окружностях:
а) Если хорды равны, то и дуги, которые они стягивают, равны.
б) Если дуги равны, то и хорды, которые их стягивают, равны.

На рисунке показаны две равные хорды $AB$ и $CD$. Следовательно, дуги, стягиваемые этими хордами (меньшие дуги), также равны: $\text{дуга } AB = \text{дуга } CD$.

Ответ: В одной окружности или в равных окружностях равные хорды стягивают равные дуги, и наоборот, равные дуги стягиваются равными хордами.

2. Свойство диаметра, перпендикулярного хорде

Диаметр (или радиус), перпендикулярный хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам.

На рисунке диаметр $CD$ перпендикулярен хорде $AB$ в точке $M$. Из этого следует, что:
- Отрезки хорды равны: $AM = MB$.
- Меньшая дуга $AB$ делится пополам: $\text{дуга } AC = \text{дуга } CB$.
- Большая дуга $AB$ также делится пополам: $\text{дуга } AD = \text{дуга } DB$.

Ответ: Диаметр, перпендикулярный хорде, делит пополам и хорду, и стягиваемые ею дуги.

3. Расстояние от центра до хорд

В одной и той же окружности или в равных окружностях:
а) Равные хорды находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности.
б) Хорды, находящиеся на одинаковом расстоянии от центра, равны.

На рисунке показаны две равные хорды $AB$ и $CD$. Расстояние от центра $O$ до хорды $AB$ — это длина перпендикуляра $OM$, а до хорды $CD$ — длина перпендикуляра $ON$. Так как $AB = CD$, то $OM = ON$.

Ответ: Равные хорды равноудалены от центра окружности, и наоборот, хорды, равноудаленные от центра, равны.

4. Дуги, заключенные между параллельными хордами

Дуги, заключенные между двумя параллельными хордами, равны.

На рисунке хорды $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$). Следовательно, дуги $AC$ и $BD$, заключенные между ними, равны: $\text{дуга } AC = \text{дуга } BD$.

Ответ: Дуги окружности, заключенные между двумя параллельными хордами, равны.

5. Свойство пересекающихся хорд

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

На рисунке хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$. Согласно теореме о пересекающихся хордах, выполняется равенство: $AP \cdot PB = CP \cdot PD$

Ответ: Произведение отрезков, на которые точка пересечения делит одну хорду, равно произведению отрезков, на которые она делит другую хорду.

6. Угол между пересекающимися хордами

Угол, образованный двумя пересекающимися хордами, равен половине суммы угловых величин дуг, заключенных между его сторонами и сторонами вертикального ему угла.

На рисунке хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$. Угол $\angle APD$ и вертикальный ему угол $\angle CPB$ высекают на окружности дуги $AD$ и $CB$. Величина угла $\angle APD$ вычисляется по формуле: $\angle APD = \frac{1}{2} (\text{дуга } AD + \text{дуга } CB)$

Ответ: Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме дуг, которые высекают на окружности этот угол и вертикальный ему угол.

31. Сколько осей симметрии и центров симметрии у окружности?

Для того чтобы ответить на вопрос, разберем понятия оси и центра симметрии применительно к окружности.

Оси симметрии

Ось симметрии фигуры — это прямая, при отражении относительно которой фигура переходит сама в себя. Для окружности такой прямой является любая прямая, проходящая через её центр. Каждый диаметр окружности является ее осью симметрии.

На рисунке показана окружность с центром в точке $O$ и несколько её осей симметрии. Поскольку через одну точку (центр окружности) можно провести бесконечное множество прямых, то и осей симметрии у окружности бесконечно много.

Ответ: у окружности бесконечно много осей симметрии.

Центры симметрии

Центр симметрии фигуры — это точка, при повороте на $180^\circ$ вокруг которой фигура переходит сама в себя (центральная симметрия). Для окружности такой точкой является её геометрический центр.

Если взять любую точку $A$ на окружности и повернуть её на $180^\circ$ вокруг центра $O$, то она перейдет в точку $A'$, которая также лежит на окружности. Точки $A$, $O$ и $A'$ будут лежать на одной прямой (на одном диаметре), и при этом расстояние $AO$ будет равно расстоянию $OA'$. Никакая другая точка, кроме центра, не обладает таким свойством. Если выбрать любую другую точку в качестве центра поворота, окружность не совпадет сама с собой. Следовательно, такая точка единственна.

Ответ: у окружности один центр симметрии.

32. Что такое вписанный в окружность угол, центральный угол? Какие их свойства вы знаете?

Рассмотрим понятия центрального и вписанного углов и их свойства на примере иллюстрации.

Центральный угол

Центральный угол — это угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами этой окружности. На рисунке угол $AOC$, обозначенный как $\alpha$, является центральным. Его вершина находится в центре $O$, а стороны $OA$ и $OC$ — радиусы.

Свойство центрального угла: его градусная мера равна градусной мере дуги, на которую он опирается. Таким образом, $\angle AOC = \smile AC$. Это означает, что если дуга $AC$ имеет меру $90^\circ$, то и центральный угол $\alpha$ равен $90^\circ$.

Ответ: Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности, образованный двумя радиусами. Его мера равна мере дуги, на которую он опирается.

Вписанный угол

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами этой окружности (то есть пересекают окружность). На рисунке угол $ABC$, обозначенный как $\beta$, является вписанным. Его вершина $B$ лежит на окружности, а стороны $BA$ и $BC$ — хорды.

Свойства вписанного угла:
1. Теорема о вписанном угле: величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается. Для нашего рисунка: $\angle ABC = \frac{1}{2} \smile AC$.
2. Связь с центральным углом: из свойств обоих углов следует, что вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. На рисунке это выражается формулой $\beta = \frac{\alpha}{2}$.
3. Равенство углов: вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу, равны между собой.
4. Угол, опирающийся на диаметр: вписанный угол, опирающийся на диаметр (дугу в $180^\circ$), является прямым, то есть его величина составляет $90^\circ$.

Ответ: Вписанный угол — угол с вершиной на окружности, образованный двумя хордами. Его мера равна половине дуги, на которую он опирается. Следствия: вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны; вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.

33. Как могут располагаться две окружности относительно друг друга? Как найти расстояние между центрами окружностей?

Как могут располагаться две окружности относительно друг друга?

Взаимное расположение двух окружностей определяется соотношением между расстоянием между их центрами и их радиусами. Пусть у нас есть две окружности: одна с центром в точке $O_1$ и радиусом $R_1$, другая с центром в точке $O_2$ и радиусом $R_2$. Обозначим расстояние между центрами как $d = |O_1O_2|$.

Существуют следующие случаи взаимного расположения:

1. Окружности не пересекаются и находятся одна вне другой.
В этом случае у окружностей нет общих точек. Расстояние между их центрами больше, чем сумма их радиусов.
Условие: $d > R_1 + R_2$.

2. Окружности касаются внешним образом.
Окружности имеют одну общую точку. Расстояние между центрами равно сумме радиусов.
Условие: $d = R_1 + R_2$.

3. Окружности пересекаются в двух точках.
Окружности имеют две общие точки. Расстояние между центрами меньше суммы радиусов, но больше модуля их разности.
Условие: $|R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2$.

4. Окружности касаются внутренним образом.
Окружности имеют одну общую точку, при этом одна окружность находится внутри другой. Расстояние между центрами равно модулю разности радиусов.
Условие: $d = |R_1 - R_2|$, где $R_1 \ne R_2$.

5. Одна окружность находится внутри другой, не касаясь ее.
Окружности не имеют общих точек. Расстояние между центрами меньше модуля разности радиусов.
Условие: $d < |R_1 - R_2|$.

6. Окружности концентрические.
Это частный случай предыдущего расположения, когда центры окружностей совпадают. Если радиусы различны, у них нет общих точек.
Условие: $d = 0$ и $R_1 \ne R_2$.

7. Окружности совпадают.
У окружностей бесконечно много общих точек. Это происходит, когда их центры совпадают, и их радиусы равны.
Условие: $d = 0$ и $R_1 = R_2$.

Ответ: Две окружности могут не иметь общих точек (когда одна находится вне другой, или одна внутри другой), иметь одну общую точку (внешнее или внутреннее касание), иметь две общие точки (пересечение) или иметь бесконечно много общих точек (совпадение).

Как найти расстояние между центрами окружностей?

Если известны координаты центров двух окружностей в декартовой системе координат, расстояние между ними можно найти по формуле расстояния между двумя точками.

Пусть центр первой окружности находится в точке $O_1$ с координатами $(x_1, y_1)$, а центр второй окружности — в точке $O_2$ с координатами $(x_2, y_2)$.

Расстояние $d$ между центрами $O_1$ и $O_2$ вычисляется по формуле:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Эта формула является следствием теоремы Пифагора. Отрезок $O_1O_2$ — это гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты которого равны модулям разностей соответствующих координат: $|x_2 - x_1|$ и $|y_2 - y_1|$.

Ответ: Если центры окружностей заданы координатами $O_1(x_1, y_1)$ и $O_2(x_2, y_2)$, то расстояние $d$ между ними находится по формуле $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

34. Чему равен угол, расположенный между касательной

и хордой?

Угол, образованный касательной к окружности и хордой, проведенной через точку касания, измеряется половиной угловой величины дуги, заключенной между его сторонами.

Рассмотрим окружность с центром в точке $O$. К окружности в точке $A$ проведена касательная $l$ и хорда $AB$. Угол $\alpha$, образованный касательной и хордой, измеряется половиной дуги $AB$, которую стягивает хорда. Математически это записывается как: $\alpha = \frac{1}{2} \cup AB$.

Для доказательства этой теоремы рассмотрим два основных случая.

Случай 1: Хорда является диаметром.
Если хорда $AB$ является диаметром, она проходит через центр $O$. Радиус $OA$, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной $l$. Это означает, что угол $\alpha$ равен $90^\circ$. Дуга, которую стягивает диаметр, является полуокружностью, и ее угловая мера составляет $180^\circ$. Таким образом, равенство выполняется: $\alpha = 90^\circ = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = \frac{1}{2} \cup AB$.

Случай 2: Хорда не является диаметром.
Проведем через точку касания $A$ диаметр $AD$. Угол между касательной $l$ и диаметром $AD$ равен $90^\circ$ (свойство касательной). Угол $\alpha$ (предположим, он острый) можно представить как разность: $\alpha = \angle(l, AD) - \angle BAD = 90^\circ - \angle BAD$.
Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. Так как он вписан в окружность и его сторона $AD$ является диаметром, то угол $\angle ABD$, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$. Следовательно, $\triangle ABD$ — прямоугольный. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, поэтому $\angle BAD + \angle BDA = 90^\circ$, откуда $\angle BAD = 90^\circ - \angle BDA$.
Подставим это выражение в формулу для $\alpha$:
$\alpha = 90^\circ - (90^\circ - \angle BDA) = \angle BDA$.
Угол $\angle BDA$ — это вписанный угол, опирающийся на дугу $AB$. По теореме о вписанном угле, его величина равна половине угловой меры дуги, на которую он опирается: $\angle BDA = \frac{1}{2} \cup AB$.
Следовательно, мы получаем, что $\alpha = \frac{1}{2} \cup AB$.
Если же угол между касательной и хордой тупой, то он является смежным с острым углом $\alpha$ и равен $180^\circ - \alpha$. Он будет измеряться половиной большей дуги, дополняющей дугу $AB$ до $360^\circ$, и теорема также будет верна.

Ответ: Угол, расположенный между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой меры дуги, которую отсекает хорда.

35. Как определить угол, образованный двумя секущими окружности?

Угол, образованный двумя секущими, зависит от того, где находится их точка пересечения — внутри окружности или вне её.

1. Случай, когда секущие пересекаются внутри окружности

Если две секущие (или хорды) пересекаются внутри окружности, то величина угла между ними равна полусумме величин дуг, высекаемых на окружности этими секущими (одна дуга заключена между сторонами данного угла, а другая — между сторонами вертикального ему угла).

Рассмотрим секущие AC и BD, пересекающиеся в точке E внутри окружности. Угол $\angle AEB$ измеряется через дуги AB и CD.

Для нахождения угла $\angle AEB$ (или вертикального ему угла $\angle CED$) используется формула: $ \angle AEB = \frac{1}{2}(\smile AD + \smile BC) $

Здесь $\smile AD$ и $\smile BC$ — это градусные меры соответствующих дуг.

Ответ: Угол, образованный двумя секущими, пересекающимися внутри окружности, равен полусумме градусных мер дуг, заключенных между сторонами этого угла и сторонами вертикального ему угла.

2. Случай, когда секущие пересекаются вне окружности

Если две секущие проведены из одной точки, лежащей вне окружности, то величина угла между ними равна полуразности величин большей и меньшей дуг, высекаемых на окружности этими секущими.

Рассмотрим секущие PA и PC, проведенные из точки P вне окружности. Первая секущая пересекает окружность в точках B и A (P-B-A), а вторая — в точках D и C (P-D-C). Угол $\angle APC$ измеряется через дуги AC (дальняя) и BD (ближняя).

Для нахождения угла $\angle P$ используется формула: $ \angle P = \frac{1}{2}(\smile AC - \smile BD) $

Здесь $\smile AC$ и $\smile BD$ — это градусные меры соответствующих дуг, причем из большей дуги вычитается меньшая.

Ответ: Угол, образованный двумя секущими, проведенными из точки вне окружности, равен полуразности градусных мер большей (дальней) и меньшей (ближней) дуг, заключенных между его сторонами.

36. Чему равна сумма внутренних углов выпуклого многоугольника, внешних углов?

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника

Для нахождения суммы внутренних углов выпуклого многоугольника можно использовать метод триангуляции. Возьмем любой выпуклый многоугольник, имеющий $n$ сторон (и, соответственно, $n$ вершин). Выберем одну из его вершин и проведем из нее все возможные диагонали к другим вершинам.

Таких диагоналей будет $n-3$ (мы не можем провести диагональ к самой вершине и к двум соседним). Эти диагонали разделят $n$-угольник на $n-2$ треугольника. Например, пятиугольник ($n=5$) разделяется на $5-2=3$ треугольника.

Сумма углов любого треугольника, как известно, равна $180^\circ$. Поскольку сумма внутренних углов многоугольника равна сумме углов всех треугольников, на которые он разделен, то для нахождения искомой суммы нужно умножить $180^\circ$ на количество полученных треугольников, то есть на $n-2$.

Таким образом, формула для суммы внутренних углов $S_n$ выпуклого $n$-угольника имеет вид: $S_n = (n-2) \cdot 180^\circ$

Ответ: Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна $(n-2) \cdot 180^\circ$.

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника

Внешний угол выпуклого многоугольника — это угол, смежный с его внутренним углом. При каждой вершине можно построить два внешних угла (они равны как вертикальные), но для нахождения суммы традиционно берут по одному внешнему углу при каждой вершине.

Пусть $\alpha_i$ — внутренний угол при $i$-й вершине, а $\beta_i$ — соответствующий ему внешний угол. Так как они смежные, их сумма равна $180^\circ$: $\alpha_i + \beta_i = 180^\circ$

Если просуммировать все внутренние и внешние углы для многоугольника с $n$ вершинами, получим: $\sum_{i=1}^{n} (\alpha_i + \beta_i) = \sum_{i=1}^{n} 180^\circ = n \cdot 180^\circ$

Эту сумму можно представить как сумму всех внутренних углов и сумму всех внешних углов: $\sum_{i=1}^{n} \alpha_i + \sum_{i=1}^{n} \beta_i = n \cdot 180^\circ$

Мы уже знаем, что сумма внутренних углов $\sum_{i=1}^{n} \alpha_i = (n-2) \cdot 180^\circ$. Подставим это значение в предыдущее уравнение: $(n-2) \cdot 180^\circ + \sum_{i=1}^{n} \beta_i = n \cdot 180^\circ$

Теперь выразим сумму внешних углов: $\sum_{i=1}^{n} \beta_i = n \cdot 180^\circ - (n-2) \cdot 180^\circ$ $\sum_{i=1}^{n} \beta_i = (n - (n-2)) \cdot 180^\circ$ $\sum_{i=1}^{n} \beta_i = (n - n + 2) \cdot 180^\circ$ $\sum_{i=1}^{n} \beta_i = 2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$

Интуитивно это можно представить, если вообразить себе движение по периметру многоугольника. На каждой вершине происходит поворот на величину внешнего угла. Чтобы обойти весь многоугольник и вернуться в исходное положение с исходной ориентацией, нужно совершить полный оборот, то есть повернуться на $360^\circ$.

Ответ: Сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, всегда равна $360^\circ$.

37. Что такое центр, апофема правильного многоугольника?

Центр правильного многоугольника

Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все внутренние углы равны. У каждого правильного многоугольника есть уникальная точка, называемая центром.

Эта точка обладает двумя ключевыми свойствами: 1. Она равноудалена от всех вершин многоугольника. Расстояние от центра до любой вершины называется радиусом описанной окружности и обычно обозначается буквой $R$. Описанная окружность проходит через все вершины многоугольника. 2. Она равноудалена от всех сторон многоугольника. Расстояние от центра до любой стороны (измеряемое по перпендикуляру) называется апофемой и обозначается буквой $a$. Вписанная окружность, касающаяся всех сторон, имеет своим радиусом апофему.

Таким образом, центр правильного многоугольника — это общая для вписанной и описанной окружностей точка. Геометрически центр можно найти как точку пересечения биссектрис углов многоугольника или как точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам (для правильного многоугольника эти точки совпадают).

Ответ: Центр правильного многоугольника — это точка, равноудаленная от всех его вершин и от всех его сторон. Эта точка является центром вписанной и описанной окружностей данного многоугольника.

Апофема правильного многоугольника

Апофема (от др.-греч. ἀπόθεμα — «отложенное») правильного многоугольника — это отрезок перпендикуляра, опущенного из центра многоугольника на любую из его сторон. Термин «апофема» также используется для обозначения длины этого отрезка.

Основные свойства апофемы:

• Апофема соединяет центр многоугольника с серединой его стороны.
• Длина апофемы, обозначаемая как $a$, равна радиусу вписанной в многоугольник окружности ($a = r$).
• Апофема является ключевым элементом для вычисления площади правильного многоугольника. Площадь $S$ можно найти по формуле: $S = \frac{1}{2}Pa$, где $P$ — периметр многоугольника, а $a$ — его апофема.

На рисунке ниже показан правильный шестиугольник с центром в точке $O$. Отрезок $OA$ является радиусом описанной окружности ($R$). Отрезок $OM$, опущенный перпендикулярно на сторону $AB$, является апофемой ($a$).

Ответ: Апофема правильного многоугольника — это перпендикуляр, опущенный из его центра на любую из его сторон. Длина этого перпендикуляра равна радиусу вписанной в многоугольник окружности.