Страница 166 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

38. Докажите теорему о соотношении длины окружности и ее диаметра. По какой формуле можно найти длину окружности?

Докажите теорему о соотношении длины окружности и ее диаметра.

Теорема утверждает, что отношение длины любой окружности к ее диаметру является постоянной величиной. Эту постоянную обозначают греческой буквой $\pi$ (пи).

Доказательство: рассмотрим две произвольные окружности с длинами $C_1$ и $C_2$ и диаметрами $D_1$ и $D_2$. Впишем в каждую из них по правильному n-угольнику с периметрами $P_{n1}$ и $P_{n2}$.

Поскольку все правильные n-угольники подобны, отношение их периметров равно отношению радиусов ($R_1$, $R_2$) или диаметров ($D_1$, $D_2$) описанных окружностей:

$$ \frac{P_{n1}}{P_{n2}} = \frac{R_1}{R_2} = \frac{D_1}{D_2} $$

Из этого соотношения, по свойству пропорции, следует, что $\frac{P_{n1}}{D_1} = \frac{P_{n2}}{D_2}$. То есть, отношение периметра вписанного правильного n-угольника к диаметру описанной окружности не зависит от размера окружности, а только от числа сторон $n$.

Длина окружности $C$ по определению является пределом, к которому стремится периметр $P_n$ вписанного в нее правильного n-угольника при неограниченном увеличении числа его сторон ($n \to \infty$).

Перейдя к пределу в полученном равенстве при $n \to \infty$, имеем:

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{P_{n1}}{D_1} = \lim_{n \to \infty} \frac{P_{n2}}{D_2} $$

$$ \frac{C_1}{D_1} = \frac{C_2}{D_2} $$

Это доказывает, что отношение $\frac{C}{D}$ является постоянной величиной для любой окружности. Эта константа и есть число $\pi$.

Ответ: Теорема доказана. Отношение длины окружности к ее диаметру есть постоянная величина, обозначаемая $\pi$.

По какой формуле можно найти длину окружности?

Исходя из доказанной теоремы, мы имеем фундаментальное соотношение $\frac{C}{D} = \pi$, где $C$ - длина окружности, а $D$ - ее диаметр.

Выражая из этого равенства длину окружности $C$, получаем формулу для ее вычисления через диаметр:

$$ C = \pi D $$

Так как диаметр равен удвоенному радиусу ($D = 2R$), эту формулу можно представить в другом виде, подставив $2R$ вместо $D$, и получить формулу для вычисления длины окружности через радиус:

$$ C = 2\pi R $$

Ответ: Длину окружности можно найти по формуле $C = \pi D$, используя диаметр, или по формуле $C = 2\pi R$, используя радиус.

39. Чему равно отношение площадей подобных треугольников, подобных многоугольников?

Это фундаментальная теорема планиметрии, которая касается связи между линейными размерами и площадью подобных фигур.

Отношение площадей подобных треугольников

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия — это число $k$, равное отношению длин соответственных сторон этих треугольников.

Рассмотрим два подобных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

По определению подобия, их соответственные стороны пропорциональны, а углы равны:

$\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{A_1C_1}{AC} = k$

$\angle A = \angle A_1, \angle B = \angle B_1, \angle C = \angle C_1$

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$, где $a$ и $b$ — две стороны, а $\gamma$ — угол между ними.

Площадь $\triangle ABC$ равна $S = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A)$.

Площадь $\triangle A_1B_1C_1$ равна $S_1 = \frac{1}{2} A_1B_1 \cdot A_1C_1 \cdot \sin(\angle A_1)$.

Из соотношений сторон мы знаем, что $A_1B_1 = k \cdot AB$ и $A_1C_1 = k \cdot AC$. Также мы знаем, что $\angle A = \angle A_1$, следовательно, $\sin(\angle A) = \sin(\angle A_1)$.

Теперь найдем отношение их площадей:

$\frac{S_1}{S} = \frac{\frac{1}{2} A_1B_1 \cdot A_1C_1 \cdot \sin(\angle A_1)}{\frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A)} = \frac{(k \cdot AB) \cdot (k \cdot AC) \cdot \sin(\angle A)}{AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A)} = \frac{k^2 \cdot AB \cdot AC}{AB \cdot AC} = k^2$

Таким образом, отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Ответ: Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения их соответственных сторон, то есть квадрату коэффициента подобия.

Отношение площадей подобных многоугольников

Данное свойство справедливо не только для треугольников, но и для любых подобных многоугольников. Отношение площадей двух подобных многоугольников также равно квадрату коэффициента подобия.

Рассмотрим два подобных n-угольника $P$ и $P_1$ с коэффициентом подобия $k$.

Любой выпуклый многоугольник можно разбить на треугольники, проведя все диагонали из одной вершины. Разобьем многоугольник $P$ на $n-2$ треугольника $T_1, T_2, ..., T_{n-2}$. Аналогично разобьем подобный ему многоугольник $P_1$ на $n-2$ треугольника $T'_1, T'_2, ..., T'_{n-2}$, проведя диагонали из соответственной вершины.

Можно доказать, что каждая пара соответственных треугольников $(T_i, T'_i)$ является подобной с тем же коэффициентом подобия $k$.

Площадь многоугольника $P$ равна сумме площадей треугольников, на которые он разбит: $S_P = S(T_1) + S(T_2) + ... + S(T_{n-2})$.

Площадь многоугольника $P_1$ также равна сумме площадей составляющих его треугольников: $S_{P_1} = S(T'_1) + S(T'_2) + ... + S(T'_{n-2})$.

Из доказанного для треугольников мы знаем, что для каждой пары подобных треугольников $T_i$ и $T'_i$ выполняется соотношение $\frac{S(T'_i)}{S(T_i)} = k^2$, откуда $S(T'_i) = k^2 \cdot S(T_i)$.

Тогда площадь многоугольника $P_1$ можно выразить следующим образом:

$S_{P_1} = k^2 \cdot S(T_1) + k^2 \cdot S(T_2) + ... + k^2 \cdot S(T_{n-2}) = k^2 \cdot (S(T_1) + S(T_2) + ... + S(T_{n-2})) = k^2 \cdot S_P$.

Отсюда получаем искомое отношение площадей многоугольников:

$\frac{S_{P_1}}{S_P} = k^2$.

Ответ: Отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату отношения их соответственных сторон, то есть квадрату коэффициента подобия.

40. Что такое круг? Какие его элементы вы знаете?

Что такое круг?

Круг — это геометрическая фигура на плоскости, которая состоит из всех точек, находящихся на расстоянии, не превышающем заданное расстояние (радиус), от центральной точки. Иными словами, это часть плоскости, ограниченная окружностью.

Важно отличать понятие круга от понятия окружности. Окружность — это только граница круга, то есть замкнутая линия, все точки которой равноудалены от центра. Круг же включает в себя как саму окружность, так и все точки, находящиеся внутри неё.

Ответ: Круг — это геометрическая фигура, представляющая собой часть плоскости, ограниченную окружностью и включающую её в себя.

Какие его элементы вы знаете?

Круг и его граница (окружность) имеют несколько ключевых элементов. Они показаны на рисунке ниже.

Центр — точка О, которая находится на одинаковом расстоянии от всех точек окружности.

Радиус (R) — это отрезок, который соединяет центр круга с любой точкой на его окружности. Также этим термином называют длину данного отрезка.

Диаметр (D) — это отрезок, который проходит через центр и соединяет две противоположные точки окружности. Диаметр всегда в два раза больше радиуса: $D = 2R$.

Хорда — это отрезок, который соединяет две любые точки на окружности. Диаметр является самой длинной хордой круга.

Окружность — это линия, которая является границей круга. Её длина $L$ вычисляется по формуле $L = 2\pi R$ или $L = \pi D$.

Дуга — это часть окружности, которая заключена между двумя точками.

Сектор — это часть круга, которая ограничена двумя радиусами и дугой между ними (похожа на кусок пиццы).

Сегмент — это часть круга, которая ограничена хордой и дугой, которую она стягивает.

Также существуют прямые, связанные с кругом:

Касательная — это прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку (точку касания).

Секущая — это прямая, которая пересекает окружность в двух различных точках.

Ответ: Основные элементы круга: центр, радиус, диаметр, хорда, окружность, дуга, сектор и сегмент. Также с кругом связаны понятия касательной и секущей.

41. Как найти площадь круга? Напишите ее формулу.

Чтобы найти площадь круга, необходимо знать его радиус или диаметр. Площадь круга – это величина, показывающая размер части плоскости, ограниченной окружностью.

1. С использованием радиуса.

Радиус ($r$) – это отрезок, соединяющий центр круга с любой точкой на его окружности. Формула для вычисления площади ($S$) круга через радиус выглядит следующим образом: площадь равна произведению числа пи ($\pi$) на квадрат радиуса. Число $\pi$ является математической константой, и его приближенное значение равно 3,14159.

Формула: $S = \pi r^2$

2. С использованием диаметра.

Диаметр ($d$) – это отрезок, проходящий через центр круга и соединяющий две противоположные точки на окружности. Диаметр всегда в два раза больше радиуса ($d = 2r$), следовательно, радиус равен половине диаметра ($r = \frac{d}{2}$). Если подставить это выражение для радиуса в основную формулу, получим формулу для вычисления площади через диаметр:

$S = \pi (\frac{d}{2})^2 = \pi \frac{d^2}{4}$

Формула: $S = \frac{\pi d^2}{4}$

Ответ: Основная формула площади круга: $S = \pi r^2$, где $S$ – площадь, $r$ – радиус круга, а $\pi$ – постоянная, приблизительно равная 3,14.

42. Как определить площадь сектора, сегмента?

Для определения площади сектора и сегмента круга используются формулы, основанные на радиусе круга и центральном угле.

Определение площади сектора

Круговой сектор — это часть круга, ограниченная двумя его радиусами и дугой между ними. Представьте себе кусок пиццы — это и есть сектор.

Площадь сектора является частью площади всего круга ($S_{круга} = \pi R^2$), пропорциональной величине центрального угла $\alpha$.

Существует две основные формулы в зависимости от единиц измерения угла:

1. Если угол $\alpha$ измеряется в градусах:
Полный круг содержит 360°. Доля сектора от всего круга равна $\frac{\alpha}{360}$.
$S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \cdot \alpha}{360}$

2. Если угол $\alpha$ измеряется в радианах:
Полный круг содержит $2\pi$ радиан. Доля сектора от всего круга равна $\frac{\alpha}{2\pi}$.
$S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \cdot \alpha}{2\pi} = \frac{1}{2} R^2 \alpha$

где:
• $R$ — радиус круга;
• $\alpha$ — центральный угол, ограничивающий сектор;
• $\pi$ ≈ 3.14159...

Ответ: Площадь сектора определяется по формуле $S = \frac{\pi R^2 \alpha}{360}$ для угла $\alpha$ в градусах, или $S = \frac{1}{2} R^2 \alpha$ для угла $\alpha$ в радианах, где $R$ — радиус круга.

Определение площади сегмента

Круговой сегмент — это часть круга, ограниченная хордой и дугой окружности.

Площадь сегмента вычисляется как разность площадей сектора, который содержит этот сегмент, и равнобедренного треугольника, образованного двумя радиусами и хордой.

$S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{\triangle}$

Площадь треугольника с двумя сторонами $R$ и углом $\alpha$ между ними равна: $S_{\triangle} = \frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha)$.

Подставив это значение в общую формулу, получим:

1. Если угол $\alpha$ измеряется в градусах:
$S_{сегмента} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360} - \frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha)$

2. Если угол $\alpha$ измеряется в радианах (предпочтительный вариант для этой формулы):
$S_{сегмента} = \frac{1}{2} R^2 \alpha - \frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha) = \frac{1}{2} R^2 (\alpha - \sin(\alpha))$

где:
• $R$ — радиус круга;
• $\alpha$ — центральный угол, опирающийся на дугу сегмента;
• $\sin(\alpha)$ — синус центрального угла. Важно: при вычислениях на калькуляторе убедитесь, что он настроен на те же единицы (градусы или радианы), в которых дан угол $\alpha$.

Данные формулы справедливы для меньшего сегмента (когда $\alpha < 180^\circ$ или $\alpha < \pi$ радиан). Площадь большего сегмента можно найти, вычтя площадь меньшего из площади всего круга.

Ответ: Площадь сегмента определяется как разность площади соответствующего сектора и площади треугольника: $S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{\triangle} = \frac{1}{2} R^2 (\alpha_{рад} - \sin(\alpha_{рад}))$ или $S_{сегмента} = \frac{\pi R^2 \alpha_{град}}{360} - \frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha_{град})$.

43. Как найти площадь правильного многоугольника?

Площадь правильного многоугольника можно вычислить несколькими способами в зависимости от известных данных. Основной подход заключается в том, чтобы разбить многоугольник на несколько равных треугольников с общей вершиной в центре многоугольника. Ниже приведены основные формулы.

Через периметр и апофему

Это самый универсальный метод. Любой правильный n-угольник можно разбить на $n$ одинаковых равнобедренных треугольников. Основанием каждого такого треугольника является сторона многоугольника, а высотой — его апофема (отрезок, соединяющий центр многоугольника с серединой стороны).

Площадь одного такого треугольника ($S_{тр}$) с основанием $s$ (длина стороны многоугольника) и высотой $a$ (апофема) равна: $S_{тр} = \frac{1}{2} s \cdot a$.

Общая площадь многоугольника $S$ — это сумма площадей $n$ таких треугольников:

$S = n \cdot S_{тр} = n \cdot \frac{1}{2} s \cdot a = \frac{1}{2} (n \cdot s) \cdot a$

Произведение $n \cdot s$ является периметром многоугольника $P$. Таким образом, формула принимает вид:

$S = \frac{1}{2} P \cdot a$

где $P$ — периметр, а $a$ — апофема.

Ответ: $S = \frac{1}{2} P \cdot a$

Через количество и длину сторон

Если известны количество сторон $n$ и длина стороны $s$, можно найти площадь, выразив апофему $a$ через эти величины. Угол при центре в каждом из $n$ равнобедренных треугольников равен $\frac{2\pi}{n}$ радиан. Апофема делит этот угол и сторону $s$ пополам, образуя прямоугольный треугольник. В этом треугольнике угол при центре равен $\frac{\pi}{n}$, противолежащий катет $\frac{s}{2}$, а прилежащий катет — апофема $a$.

Из соотношения в прямоугольном треугольнике: $\tan\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{s/2}{a}$, откуда $a = \frac{s}{2 \tan(\pi/n)}$.

Подставим $a$ в формулу $S = \frac{1}{2} n \cdot s \cdot a$:

$S = \frac{1}{2} n \cdot s \cdot \frac{s}{2 \tan(\pi/n)} = \frac{n s^2}{4 \tan(\pi/n)}$

Используя тождество $\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}$, получаем:

Ответ: $S = \frac{n s^2}{4} \cot\left(\frac{\pi}{n}\right)$

Через радиус описанной окружности

Если известен радиус описанной окружности $R$ (расстояние от центра до вершины) и количество сторон $n$. В том же прямоугольном треугольнике, что и выше, $R$ является гипотенузой.

Выразим сторону $s$ и апофему $a$ через $R$ и $n$:

$\sin\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{s/2}{R} \implies s = 2R \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)$

$\cos\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{a}{R} \implies a = R \cos\left(\frac{\pi}{n}\right)$

Подставим эти выражения в формулу $S = \frac{1}{2} n s a$:

$S = \frac{1}{2} n \left(2R \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\right) \left(R \cos\left(\frac{\pi}{n}\right)\right) = n R^2 \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) \cos\left(\frac{\pi}{n}\right)$

Применяя формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$, получаем:

Ответ: $S = \frac{1}{2} n R^2 \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$

Через радиус вписанной окружности (апофему)

Если известна апофема $a$ (которая является радиусом вписанной окружности) и количество сторон $n$.

Выразим длину стороны $s$ через апофему $a$ из соотношения $\tan\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{s/2}{a}$:

$s = 2a \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)$

Подставим это выражение для $s$ в формулу $S = \frac{1}{2} n s a$:

$S = \frac{1}{2} n \left(2a \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)\right) a = n a^2 \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)$

Ответ: $S = n a^2 \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)$

44. Что такое пропорциональные отрезки круга? Какие их свойства вы знаете?

Что такое пропорциональные отрезки круга?

Пропорциональные отрезки в круге — это отрезки хорд, секущих и касательных, связанные определенными соотношениями, которые вытекают из подобия треугольников. Эти соотношения выражаются в виде равенства произведений длин определенных отрезков. В зависимости от расположения этих отрезков, рассматривают три основных случая:

1. Отрезки, которые образуются при пересечении двух хорд внутри круга.

2. Отрезки, которые образуются двумя секущими, проведенными из одной точки вне круга.

3. Отрезки, которые образуются касательной и секущей, проведенными из одной точки вне круга.

В каждом из этих случаев существует теорема, устанавливающая пропорциональную зависимость (равенство произведений) между длинами этих отрезков.

Ответ: Пропорциональные отрезки в круге – это отрезки, на которые делятся хорды при пересечении, а также отрезки секущих и касательных, проведенных из одной точки, чьи длины связаны пропорциональными зависимостями (равенством произведений).

Какие их свойства вы знаете?

Основные свойства пропорциональных отрезков в круге формулируются в виде следующих теорем:

1. Свойство пересекающихся хорд

Теорема: Если две хорды окружности пересекаются в точке внутри круга, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Для хорд $AB$ и $CD$, пересекающихся в точке $P$, справедливо равенство:
$AP \cdot PB = CP \cdot PD$

2. Свойство двух секущих

Теорема: Если из точки, лежащей вне круга, проведены две секущие, то произведение длины одной секущей на её внешнюю часть равно произведению длины другой секущей на её внешнюю часть.

Для двух секущих, проведенных из точки $P$, как показано на рисунке, справедливо равенство:
$PA \cdot PB = PC \cdot PD$

3. Свойство касательной и секущей (Теорема о квадрате касательной)

Теорема: Если из точки, лежащей вне круга, проведены касательная и секущая, то квадрат длины отрезка касательной равен произведению длины секущей на её внешнюю часть.

Для касательной $PC$ и секущей $PA$, проведенных из точки $P$, как показано на рисунке, справедливо равенство:
$PC^2 = PA \cdot PB$

Ответ: Основные свойства пропорциональных отрезков в круге: 1) Для двух пересекающихся хорд $AB$ и $CD$ в точке $P$ верно $AP \cdot PB = CP \cdot PD$. 2) Для двух секущих, проведенных из точки $P$ (пересекающих окружность в точках $A,B$ и $C,D$, где $B$ и $D$ — ближние к $P$ точки), верно $PA \cdot PB = PC \cdot PD$. 3) Для касательной $PC$ и секущей $PA$ (пересекающей окружность в точках $A,B$, где $B$ — ближняя к $P$ точка), проведенных из точки $P$, верно $PC^2 = PA \cdot PB$.

45. Какие метрические соотношения в прямоугольном треугольнике вы знаете?

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике — это формулы, которые связывают длины его сторон (катетов и гипотенузы), высоту, проведенную к гипотенузе, проекции катетов на гипотенузу, а также радиусы вписанной и описанной окружностей.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$.

Обозначения на рисунке: $a$ и $b$ — катеты; $c$ — гипотенуза ($c = a_c + b_c$); $h_c$ — высота, проведенная из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе; $a_c$ (отрезок $BH$) и $b_c$ (отрезок $AH$) — проекции катетов $a$ и $b$ на гипотенузу соответственно.

Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Это одно из фундаментальных соотношений в евклидовой геометрии.
Формула: $a^2 + b^2 = c^2$.
Из нее можно выразить любую сторону через две другие: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$, $a = \sqrt{c^2 - b^2}$, $b = \sqrt{c^2 - a^2}$.
Ответ: Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$.

Тригонометрические соотношения
Они определяют связь между острыми углами треугольника и отношениями длин его сторон. Для угла $A = \alpha$:
• Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе: $\sin \alpha = \frac{a}{c}$.
• Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе: $\cos \alpha = \frac{b}{c}$.
• Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему: $\tan \alpha = \frac{a}{b}$.
Так как $\alpha + B = 90^\circ$, то $\sin B = \cos \alpha = \frac{b}{c}$ и $\cos B = \sin \alpha = \frac{a}{c}$.
Ответ: $\sin \alpha = \frac{a}{c}$, $\cos \alpha = \frac{b}{c}$, $\tan \alpha = \frac{a}{b}$.

Соотношения, связанные с высотой, проведенной к гипотенузе
Высота $h_c$, опущенная на гипотенузу, делит исходный треугольник на два меньших треугольника, которые подобны исходному и друг другу. Из этого подобия вытекает несколько важных соотношений:
1. Высота является средним пропорциональным (средним геометрическим) между проекциями катетов на гипотенузу: $h_c^2 = a_c \cdot b_c$.
2. Каждый катет является средним пропорциональным между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу: $a^2 = c \cdot a_c$ и $b^2 = c \cdot b_c$.
3. Произведение катетов равно произведению гипотенузы на высоту, проведенную к ней (это следует из формулы площади): $a \cdot b = c \cdot h_c$.
4. Величина, обратная квадрату высоты, равна сумме величин, обратных квадратам катетов: $\frac{1}{h_c^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$.
Ответ: $h_c^2 = a_c \cdot b_c$; $a^2 = c \cdot a_c$; $b^2 = c \cdot b_c$; $a \cdot b = c \cdot h_c$.

Площадь прямоугольного треугольника
Площадь $S$ можно вычислить двумя основными способами:
1. Как половину произведения его катетов: $S = \frac{1}{2} a \cdot b$.
2. Как половину произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней: $S = \frac{1}{2} c \cdot h_c$.
Ответ: $S = \frac{1}{2} a \cdot b = \frac{1}{2} c \cdot h_c$.

Радиусы вписанной и описанной окружностей
• Радиус описанной окружности ($R$). Центр описанной окружности прямоугольного треугольника находится в середине гипотенузы. Поэтому ее радиус равен половине длины гипотенузы: $R = \frac{c}{2}$.
• Радиус вписанной окружности ($r$). Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно найти по формуле, связывающей его с длинами сторон: $r = \frac{a+b-c}{2}$.
Ответ: $R = \frac{c}{2}$; $r = \frac{a+b-c}{2}$.

46. Какие виды треугольника вы знаете (остроугольный, прямоугольный, тупоугольный)?

Классификация треугольников по величине их внутренних углов является одной из фундаментальных в геометрии. В зависимости от того, являются ли углы острыми, прямыми или тупыми, выделяют три основных вида треугольников, которые и перечислены в вопросе.

Остроугольный

Остроугольным называется треугольник, у которого все три внутренних угла являются острыми, то есть их градусная мера меньше $90^\circ$. Если обозначить углы треугольника как $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, то для остроугольного треугольника будут выполняться следующие условия: $\alpha < 90^\circ$, $\beta < 90^\circ$ и $\gamma < 90^\circ$. Сумма углов, как и в любом треугольнике, равна $180^\circ$.

Ответ: Остроугольный треугольник — это треугольник, все три угла которого острые (меньше $90^\circ$).

Прямоугольный

Прямоугольным называется треугольник, один из углов которого является прямым, то есть равен ровно $90^\circ$. Два других угла в таком треугольнике всегда острые, и их сумма составляет $90^\circ$. Сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, а две другие стороны — катетами. Для сторон прямоугольного треугольника выполняется теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$, где $a$ и $b$ — длины катетов, а $c$ — длина гипотенузы.

Ответ: Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол прямой (равен $90^\circ$).

Тупоугольный

Тупоугольным называется треугольник, один из углов которого является тупым, то есть его градусная мера больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$. Два других угла в тупоугольном треугольнике всегда являются острыми. Если один угол $\gamma > 90^\circ$, то сумма двух других углов $\alpha + \beta$ будет меньше $90^\circ$.

Ответ: Тупоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол тупой (больше $90^\circ$).

Помимо классификации по углам, треугольники также разделяют по соотношению длин их сторон на равносторонние (все стороны равны), равнобедренные (две стороны равны) и разносторонние (все стороны разной длины).

47. Какие свойства биссектрисы вы знаете?

Биссектриса — это геометрическое понятие, обладающее рядом важных свойств, которые находят применение в различных задачах по геометрии.

1. Основное свойство: равноудаленность точек биссектрисы от сторон угла

По определению, биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла. Основное свойство заключается в том, что каждая точка, лежащая на биссектрисе неразвернутого угла, равноудалена (находится на одинаковом расстоянии) от его сторон. Верно и обратное: каждая точка внутри угла, равноудаленная от его сторон, лежит на его биссектрисе.

На иллюстрации луч $AL$ является биссектрисой угла $BAC$. Для произвольной точки $M$ на биссектрисе $AL$ расстояния до сторон угла, представленные перпендикулярами $MK$ и $MP$, равны, то есть $MK = MP$.

Ответ: Любая точка на биссектрисе угла равноудалена от его сторон.

2. Свойство биссектрисы треугольника (Теорема о биссектрисе)

Биссектриса любого внутреннего угла треугольника делит противолежащую этому углу сторону на отрезки, которые пропорциональны двум другим сторонам треугольника.

Для треугольника $ABC$ с биссектрисой $AL$, проведенной из вершины $A$ к стороне $BC$, справедливо соотношение: $ \frac{AB}{AC} = \frac{BL}{LC} $. Если обозначить стороны $AB = c$ и $AC = b$, а отрезки $BL$ и $LC$ как $a_c$ и $a_b$ соответственно, то формула примет вид: $ \frac{c}{b} = \frac{a_c}{a_b} $.

Ответ: Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

3. Точка пересечения биссектрис треугольника

Все три биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка называется инцентром и является центром окружности, вписанной в данный треугольник. Расстояние от инцентра до каждой из сторон треугольника одинаково и равно радиусу вписанной окружности.

На рисунке биссектрисы углов $A, B, C$ пересекаются в точке $I$, которая является центром вписанной окружности.

Ответ: Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной окружности.

4. Длина биссектрисы треугольника

Длину биссектрисы треугольника можно вычислить по нескольким формулам. Пусть $l_a$ — длина биссектрисы, проведенной из вершины $A$ к стороне $a$. Стороны, прилежащие к углу $A$, — это $b$ и $c$. Биссектриса делит сторону $a$ на отрезки $m$ и $n$. Тогда квадрат длины биссектрисы равен:

$ l_a^2 = bc - mn $

Также существует формула через косинус половинного угла:

$ l_a = \frac{2bc}{b+c} \cos\frac{A}{2} $

Ответ: Длина биссектрисы треугольника может быть найдена по формулам, связывающим ее со сторонами треугольника и отрезками, на которые она делит противоположную сторону, или через косинус половинного угла.

5. Свойства биссектрис смежных и вертикальных углов

Биссектрисы обладают особыми свойствами и для пар углов.

Биссектрисы смежных углов: Смежные углы в сумме дают $180^\circ$. Биссектрисы двух смежных углов всегда взаимно перпендикулярны, то есть образуют между собой прямой угол ($90^\circ$).

Биссектрисы вертикальных углов: Вертикальные углы равны между собой. Биссектрисы двух вертикальных углов являются продолжениями друг друга, то есть лежат на одной прямой.

Ответ: Биссектрисы смежных углов перпендикулярны, а биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

48. Какая связь существует между сторонами и диагоналями вписанного четырехугольника?

Связь между сторонами и диагоналями вписанного в окружность четырехугольника устанавливает теорема Птолемея. Она гласит, что во всяком вписанном в окружность четырехугольнике произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин его противолежащих сторон.

Рассмотрим вписанный четырехугольник ABCD, стороны которого последовательно равны $a, b, c, d$, а диагонали — $p$ и $q$.

Если обозначить длины сторон $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$, $DA=d$ и длины диагоналей $AC=p$, $BD=q$, то теорема Птолемея выражается следующей формулой:

$ac + bd = pq$

Ниже приведено доказательство этой теоремы.

На диагонали $AC$ вписанного четырехугольника $ABCD$ выберем точку $K$ таким образом, чтобы угол $\angle ABK$ был равен углу $\angle CBD$.

Поскольку четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность, углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. В частности, вписанные углы $\angle BAC$ и $\angle BDC$ опираются на одну дугу $BC$, следовательно, они равны: $\angle BAC = \angle BDC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABK$ и $\triangle DBC$. В них:

1. $\angle BAK = \angle BDC$ (как вписанные углы, опирающиеся на дугу $BC$).

2. $\angle ABK = \angle DBC$ (по построению точки $K$).

Следовательно, треугольники $\triangle ABK$ и $\triangle DBC$ подобны по двум углам. Из их подобия следует пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{AK}{DC} = \frac{AB}{DB}$

Из этой пропорции получаем первое равенство:

$AK \cdot DB = AB \cdot DC$

Теперь рассмотрим другую пару треугольников: $\triangle ABD$ и $\triangle KBC$. В них:

1. $\angle ADB = \angle ACB$ (как вписанные углы, опирающиеся на дугу $AB$).

2. $\angle ABD = \angle ABC - \angle DBC$. Так как по построению $\angle DBC = \angle ABK$, то $\angle ABD = \angle ABC - \angle ABK = \angle KBC$.

Таким образом, треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle KBC$ также подобны по двум углам. Из их подобия получаем пропорцию:

$\frac{AD}{KC} = \frac{BD}{BC}$

Отсюда следует второе равенство:

$KC \cdot BD = AD \cdot BC$

Сложим полученные два равенства:

$AK \cdot DB + KC \cdot BD = AB \cdot DC + AD \cdot BC$

Вынесем $DB$ (или $BD$) за скобки в левой части:

$BD \cdot (AK + KC) = AB \cdot DC + AD \cdot BC$

Поскольку точка $K$ была выбрана на диагонали $AC$, то сумма отрезков $AK$ и $KC$ равна длине всей диагонали $AC$, то есть $AK + KC = AC$. Подставив это в наше уравнение, получаем итоговую формулу:

$BD \cdot AC = AB \cdot CD + AD \cdot BC$

Теорема доказана.

Ответ: Связь между сторонами и диагоналями вписанного четырехугольника описывается теоремой Птолемея: произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин его противолежащих сторон. Если длины сторон четырехугольника, взятые последовательно, равны $a, b, c, d$, а длины диагоналей — $p$ и $q$, то выполняется равенство $ac + bd = pq$.