Номер 45, страница 166 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

45. Какие метрические соотношения в прямоугольном треугольнике вы знаете?

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике — это формулы, которые связывают длины его сторон (катетов и гипотенузы), высоту, проведенную к гипотенузе, проекции катетов на гипотенузу, а также радиусы вписанной и описанной окружностей.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$.

Обозначения на рисунке: $a$ и $b$ — катеты; $c$ — гипотенуза ($c = a_c + b_c$); $h_c$ — высота, проведенная из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе; $a_c$ (отрезок $BH$) и $b_c$ (отрезок $AH$) — проекции катетов $a$ и $b$ на гипотенузу соответственно.

Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Это одно из фундаментальных соотношений в евклидовой геометрии.
Формула: $a^2 + b^2 = c^2$.
Из нее можно выразить любую сторону через две другие: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$, $a = \sqrt{c^2 - b^2}$, $b = \sqrt{c^2 - a^2}$.
Ответ: Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$.

Тригонометрические соотношения
Они определяют связь между острыми углами треугольника и отношениями длин его сторон. Для угла $A = \alpha$:
• Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе: $\sin \alpha = \frac{a}{c}$.
• Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе: $\cos \alpha = \frac{b}{c}$.
• Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему: $\tan \alpha = \frac{a}{b}$.
Так как $\alpha + B = 90^\circ$, то $\sin B = \cos \alpha = \frac{b}{c}$ и $\cos B = \sin \alpha = \frac{a}{c}$.
Ответ: $\sin \alpha = \frac{a}{c}$, $\cos \alpha = \frac{b}{c}$, $\tan \alpha = \frac{a}{b}$.

Соотношения, связанные с высотой, проведенной к гипотенузе
Высота $h_c$, опущенная на гипотенузу, делит исходный треугольник на два меньших треугольника, которые подобны исходному и друг другу. Из этого подобия вытекает несколько важных соотношений:
1. Высота является средним пропорциональным (средним геометрическим) между проекциями катетов на гипотенузу: $h_c^2 = a_c \cdot b_c$.
2. Каждый катет является средним пропорциональным между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу: $a^2 = c \cdot a_c$ и $b^2 = c \cdot b_c$.
3. Произведение катетов равно произведению гипотенузы на высоту, проведенную к ней (это следует из формулы площади): $a \cdot b = c \cdot h_c$.
4. Величина, обратная квадрату высоты, равна сумме величин, обратных квадратам катетов: $\frac{1}{h_c^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$.
Ответ: $h_c^2 = a_c \cdot b_c$; $a^2 = c \cdot a_c$; $b^2 = c \cdot b_c$; $a \cdot b = c \cdot h_c$.

Площадь прямоугольного треугольника
Площадь $S$ можно вычислить двумя основными способами:
1. Как половину произведения его катетов: $S = \frac{1}{2} a \cdot b$.
2. Как половину произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней: $S = \frac{1}{2} c \cdot h_c$.
Ответ: $S = \frac{1}{2} a \cdot b = \frac{1}{2} c \cdot h_c$.

Радиусы вписанной и описанной окружностей
• Радиус описанной окружности ($R$). Центр описанной окружности прямоугольного треугольника находится в середине гипотенузы. Поэтому ее радиус равен половине длины гипотенузы: $R = \frac{c}{2}$.
• Радиус вписанной окружности ($r$). Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно найти по формуле, связывающей его с длинами сторон: $r = \frac{a+b-c}{2}$.
Ответ: $R = \frac{c}{2}$; $r = \frac{a+b-c}{2}$.