Номер 47, страница 166 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

47. Какие свойства биссектрисы вы знаете?

Биссектриса — это геометрическое понятие, обладающее рядом важных свойств, которые находят применение в различных задачах по геометрии.

1. Основное свойство: равноудаленность точек биссектрисы от сторон угла

По определению, биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла. Основное свойство заключается в том, что каждая точка, лежащая на биссектрисе неразвернутого угла, равноудалена (находится на одинаковом расстоянии) от его сторон. Верно и обратное: каждая точка внутри угла, равноудаленная от его сторон, лежит на его биссектрисе.

На иллюстрации луч $AL$ является биссектрисой угла $BAC$. Для произвольной точки $M$ на биссектрисе $AL$ расстояния до сторон угла, представленные перпендикулярами $MK$ и $MP$, равны, то есть $MK = MP$.

Ответ: Любая точка на биссектрисе угла равноудалена от его сторон.

2. Свойство биссектрисы треугольника (Теорема о биссектрисе)

Биссектриса любого внутреннего угла треугольника делит противолежащую этому углу сторону на отрезки, которые пропорциональны двум другим сторонам треугольника.

Для треугольника $ABC$ с биссектрисой $AL$, проведенной из вершины $A$ к стороне $BC$, справедливо соотношение: $ \frac{AB}{AC} = \frac{BL}{LC} $. Если обозначить стороны $AB = c$ и $AC = b$, а отрезки $BL$ и $LC$ как $a_c$ и $a_b$ соответственно, то формула примет вид: $ \frac{c}{b} = \frac{a_c}{a_b} $.

Ответ: Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

3. Точка пересечения биссектрис треугольника

Все три биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка называется инцентром и является центром окружности, вписанной в данный треугольник. Расстояние от инцентра до каждой из сторон треугольника одинаково и равно радиусу вписанной окружности.

На рисунке биссектрисы углов $A, B, C$ пересекаются в точке $I$, которая является центром вписанной окружности.

Ответ: Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной окружности.

4. Длина биссектрисы треугольника

Длину биссектрисы треугольника можно вычислить по нескольким формулам. Пусть $l_a$ — длина биссектрисы, проведенной из вершины $A$ к стороне $a$. Стороны, прилежащие к углу $A$, — это $b$ и $c$. Биссектриса делит сторону $a$ на отрезки $m$ и $n$. Тогда квадрат длины биссектрисы равен:

$ l_a^2 = bc - mn $

Также существует формула через косинус половинного угла:

$ l_a = \frac{2bc}{b+c} \cos\frac{A}{2} $

Ответ: Длина биссектрисы треугольника может быть найдена по формулам, связывающим ее со сторонами треугольника и отрезками, на которые она делит противоположную сторону, или через косинус половинного угла.

5. Свойства биссектрис смежных и вертикальных углов

Биссектрисы обладают особыми свойствами и для пар углов.

Биссектрисы смежных углов: Смежные углы в сумме дают $180^\circ$. Биссектрисы двух смежных углов всегда взаимно перпендикулярны, то есть образуют между собой прямой угол ($90^\circ$).

Биссектрисы вертикальных углов: Вертикальные углы равны между собой. Биссектрисы двух вертикальных углов являются продолжениями друг друга, то есть лежат на одной прямой.

Ответ: Биссектрисы смежных углов перпендикулярны, а биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.