Номер 43, страница 166 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

43. Как найти площадь правильного многоугольника?

Площадь правильного многоугольника можно вычислить несколькими способами в зависимости от известных данных. Основной подход заключается в том, чтобы разбить многоугольник на несколько равных треугольников с общей вершиной в центре многоугольника. Ниже приведены основные формулы.

Через периметр и апофему

Это самый универсальный метод. Любой правильный n-угольник можно разбить на $n$ одинаковых равнобедренных треугольников. Основанием каждого такого треугольника является сторона многоугольника, а высотой — его апофема (отрезок, соединяющий центр многоугольника с серединой стороны).

Площадь одного такого треугольника ($S_{тр}$) с основанием $s$ (длина стороны многоугольника) и высотой $a$ (апофема) равна: $S_{тр} = \frac{1}{2} s \cdot a$.

Общая площадь многоугольника $S$ — это сумма площадей $n$ таких треугольников:

$S = n \cdot S_{тр} = n \cdot \frac{1}{2} s \cdot a = \frac{1}{2} (n \cdot s) \cdot a$

Произведение $n \cdot s$ является периметром многоугольника $P$. Таким образом, формула принимает вид:

$S = \frac{1}{2} P \cdot a$

где $P$ — периметр, а $a$ — апофема.

Ответ: $S = \frac{1}{2} P \cdot a$

Через количество и длину сторон

Если известны количество сторон $n$ и длина стороны $s$, можно найти площадь, выразив апофему $a$ через эти величины. Угол при центре в каждом из $n$ равнобедренных треугольников равен $\frac{2\pi}{n}$ радиан. Апофема делит этот угол и сторону $s$ пополам, образуя прямоугольный треугольник. В этом треугольнике угол при центре равен $\frac{\pi}{n}$, противолежащий катет $\frac{s}{2}$, а прилежащий катет — апофема $a$.

Из соотношения в прямоугольном треугольнике: $\tan\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{s/2}{a}$, откуда $a = \frac{s}{2 \tan(\pi/n)}$.

Подставим $a$ в формулу $S = \frac{1}{2} n \cdot s \cdot a$:

$S = \frac{1}{2} n \cdot s \cdot \frac{s}{2 \tan(\pi/n)} = \frac{n s^2}{4 \tan(\pi/n)}$

Используя тождество $\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}$, получаем:

Ответ: $S = \frac{n s^2}{4} \cot\left(\frac{\pi}{n}\right)$

Через радиус описанной окружности

Если известен радиус описанной окружности $R$ (расстояние от центра до вершины) и количество сторон $n$. В том же прямоугольном треугольнике, что и выше, $R$ является гипотенузой.

Выразим сторону $s$ и апофему $a$ через $R$ и $n$:

$\sin\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{s/2}{R} \implies s = 2R \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)$

$\cos\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{a}{R} \implies a = R \cos\left(\frac{\pi}{n}\right)$

Подставим эти выражения в формулу $S = \frac{1}{2} n s a$:

$S = \frac{1}{2} n \left(2R \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\right) \left(R \cos\left(\frac{\pi}{n}\right)\right) = n R^2 \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) \cos\left(\frac{\pi}{n}\right)$

Применяя формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$, получаем:

Ответ: $S = \frac{1}{2} n R^2 \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$

Через радиус вписанной окружности (апофему)

Если известна апофема $a$ (которая является радиусом вписанной окружности) и количество сторон $n$.

Выразим длину стороны $s$ через апофему $a$ из соотношения $\tan\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{s/2}{a}$:

$s = 2a \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)$

Подставим это выражение для $s$ в формулу $S = \frac{1}{2} n s a$:

$S = \frac{1}{2} n \left(2a \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)\right) a = n a^2 \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)$

Ответ: $S = n a^2 \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)$