Номер 12, страница 164 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

12. Докажите теорему синусов.

Теорема синусов.Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, и это отношение равно диаметру описанной около треугольника окружности.

Для произвольного треугольника со сторонами $a, b, c$, противолежащими им углами $A, B, C$ и радиусом описанной окружности $R$, справедливо соотношение:

$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R $

Доказательство:

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$ со сторонами $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$ и углами $\angle A, \angle B, \angle C$. Опишем около этого треугольника окружность радиуса $R$. Докажем, что $\frac{a}{\sin A} = 2R$.

Для этого рассмотрим три возможных случая для угла $A$.

1. Угол A — острый ($A < 90^\circ$).

Проведем из вершины B диаметр $BD$. Соединим точки D и C.

Треугольник $BCD$ является прямоугольным, поскольку его угол $\angle BCD$ опирается на диаметр $BD$, следовательно, $\angle BCD = 90^\circ$.

Вписанные углы $\angle BAC$ и $\angle BDC$ опираются на одну и ту же дугу $BC$, поэтому они равны: $\angle BDC = \angle BAC = A$.

В прямоугольном треугольнике $BCD$ по определению синуса:

$ \sin(\angle BDC) = \frac{BC}{BD} $

Подставляя известные обозначения ($BC=a$, $BD=2R$, $\angle BDC=A$), получаем:

$ \sin A = \frac{a}{2R} $

Откуда следует, что $\frac{a}{\sin A} = 2R$.

2. Угол A — тупой ($A > 90^\circ$).

Аналогично проведем диаметр $BD$.

Четырехугольник $ABDC$ вписан в окружность, поэтому сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$: $\angle BAC + \angle BDC = 180^\circ$. Отсюда $\angle BDC = 180^\circ - A$.

Треугольник $BCD$ также является прямоугольным ($\angle BCD = 90^\circ$). В нем:

$ \sin(\angle BDC) = \frac{BC}{BD} $

Подставляя значения, получаем:

$ \sin(180^\circ - A) = \frac{a}{2R} $

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$, имеем:

$ \sin A = \frac{a}{2R} $, или $\frac{a}{\sin A} = 2R$.

3. Угол A — прямой ($A = 90^\circ$).

Если угол $A$ прямой, то треугольник $ABC$ — прямоугольный, и его гипотенуза $BC$ (сторона $a$) является диаметром описанной окружности.

Таким образом, $a = 2R$. При этом $\sin A = \sin 90^\circ = 1$.

Равенство $\frac{a}{\sin A} = 2R$ превращается в $\frac{2R}{1} = 2R$, что является верным.

Итак, мы доказали, что для любого угла $A$ треугольника выполняется равенство $\frac{a}{\sin A} = 2R$.

Аналогичные рассуждения можно провести для углов $B$ и $C$, доказав, что $\frac{b}{\sin B} = 2R$ и $\frac{c}{\sin C} = 2R$.

Объединяя эти три равенства, получаем итоговую формулировку теоремы синусов:

$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R $

Теорема доказана.

Ответ:Доказательство приведено выше. Теорема синусов утверждает, что для любого треугольника со сторонами $a, b, c$ и противолежащими углами $A, B, C$ выполняется соотношение $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$, где $R$ — радиус описанной около треугольника окружности.