Номер 31, страница 163 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

31. Каковы особенности расположения прямой и окружности относительно осей координат?

Рассмотрим особенности расположения прямой и окружности в декартовой системе координат, которые возникают при определённых значениях коэффициентов в их уравнениях.

Особенности расположения прямой

Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид $ax + by + c = 0$, где $a$, $b$, $c$ — некоторые числа, причём хотя бы одно из чисел $a$ или $b$ не равно нулю. Особенности расположения прямой зависят от того, равны ли эти коэффициенты нулю.

1. Прямая, параллельная оси абсцисс (Ox)

Если в общем уравнении коэффициент $a = 0$ (а $b \neq 0$), уравнение принимает вид $by + c = 0$, откуда $y = -c/b$. Обозначив $-c/b$ как $y_0$, получаем уравнение $y = y_0$. Это уравнение задаёт горизонтальную прямую, параллельную оси Ox.

Частный случай: Если также $c = 0$, то уравнение становится $y = 0$. Это уравнение самой оси абсцисс (Ox).

2. Прямая, параллельная оси ординат (Oy)

Если в общем уравнении коэффициент $b = 0$ (а $a \neq 0$), уравнение принимает вид $ax + c = 0$, откуда $x = -c/a$. Обозначив $-c/a$ как $x_0$, получаем уравнение $x = x_0$. Это уравнение задаёт вертикальную прямую, параллельную оси Oy.

Частный случай: Если также $c = 0$, то уравнение становится $x = 0$. Это уравнение самой оси ординат (Oy).

3. Прямая, проходящая через начало координат

Если свободный член $c = 0$ (а $a \neq 0$ и $b \neq 0$), уравнение принимает вид $ax + by = 0$. Его можно переписать как $y = kx$, где $k = -a/b$ — угловой коэффициент. Такая прямая всегда проходит через точку $(0, 0)$.

Ответ: Особенности расположения прямой относительно осей координат определяются коэффициентами её общего уравнения $ax + by + c = 0$. Если $a=0$, прямая параллельна оси Ox (или совпадает с ней, если $c=0$). Если $b=0$, прямая параллельна оси Oy (или совпадает с ней, если $c=0$). Если $c=0$, прямая проходит через начало координат.

Особенности расположения окружности

Общее уравнение окружности имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0)$ — координаты центра, а $R$ — радиус. Особенности расположения окружности зависят от положения её центра и соотношения между координатами центра и радиусом.

1. Окружность с центром в начале координат

Если центр окружности совпадает с началом координат, то $x_0 = 0$ и $y_0 = 0$. Уравнение принимает вид $x^2 + y^2 = R^2$. Такая окружность симметрична относительно обеих осей координат и начала координат.

2. Окружность с центром на оси абсцисс (Ox)

Если центр окружности лежит на оси Ox, то его ордината $y_0 = 0$. Уравнение имеет вид $(x - x_0)^2 + y^2 = R^2$. Такая окружность симметрична относительно оси Ox.

3. Окружность с центром на оси ординат (Oy)

Если центр окружности лежит на оси Oy, то его абсцисса $x_0 = 0$. Уравнение имеет вид $x^2 + (y - y_0)^2 = R^2$. Такая окружность симметрична относительно оси Oy.

4. Окружность, касающаяся одной или обеих осей координат

Окружность касается оси, если расстояние от её центра до оси равно радиусу.

• Касание оси Ox: расстояние от центра $(x_0, y_0)$ до оси Ox равно $|y_0|$. Условие касания: $|y_0| = R$. Уравнение: $(x - x_0)^2 + (y \mp R)^2 = R^2$.
• Касание оси Oy: расстояние от центра $(x_0, y_0)$ до оси Oy равно $|x_0|$. Условие касания: $|x_0| = R$. Уравнение: $(x \mp R)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.
• Касание обеих осей: выполняются оба условия, $|x_0| = R$ и $|y_0| = R$. Центр имеет координаты $(\pm R, \pm R)$. Уравнение: $(x \mp R)^2 + (y \mp R)^2 = R^2$.

Ответ: Особенности расположения окружности определяются положением её центра $(x_0, y_0)$ и величиной радиуса $R$. Если центр в начале координат ($x_0=0, y_0=0$), окружность симметрична относительно начала и осей. Если центр на оси Ox ($y_0=0$) или Oy ($x_0=0$), окружность симметрична относительно этой оси. Если $|y_0|=R$ или $|x_0|=R$, окружность касается оси Ox или Oy соответственно. Если $|x_0|=|y_0|=R$, окружность касается обеих осей.