Номер 9, страница 163 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9. Докажите теорему Фалеса.

Теорема Фалеса имеет две основные формулировки: простую (или прямую) и обобщенную. Докажем обе.

Простая (прямая) теорема Фалеса

Формулировка: Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных между собой отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой также равные между собой отрезки.

Дано: Две прямые $a$ и $b$. Параллельные прямые $l_1, l_2, l_3$ пересекают прямую $a$ в точках $A_1, A_2, A_3$ и прямую $b$ в точках $B_1, B_2, B_3$ соответственно, так что $l_1 \parallel l_2 \parallel l_3$. На прямой $a$ отрезки $A_1A_2$ и $A_2A_3$ равны: $A_1A_2 = A_2A_3$.

Доказать: $B_1B_2 = B_2B_3$.

Доказательство:

1. Проведем через точку $B_2$ прямую $c$, параллельную прямой $a$. Пусть она пересекает прямые $l_1$ и $l_3$ в точках $C$ и $D$ соответственно.
2. Рассмотрим четырехугольник $A_1A_2B_2C$. В нем стороны $A_1A_2$ и $CB_2$ параллельны по построению ($c \parallel a$), а стороны $A_1C$ и $A_2B_2$ параллельны по условию ($l_1 \parallel l_2$). Следовательно, $A_1A_2B_2C$ — параллелограмм. По свойству параллелограмма, $A_1A_2 = CB_2$.
3. Аналогично рассмотрим четырехугольник $A_2A_3DB_2$. В нем $A_2A_3 \parallel B_2D$ (по построению) и $A_2B_2 \parallel A_3D$ (по условию $l_2 \parallel l_3$). Следовательно, $A_2A_3DB_2$ — параллелограмм. Отсюда, $A_2A_3 = B_2D$.
4. По условию теоремы $A_1A_2 = A_2A_3$. Из равенств, полученных в пунктах 2 и 3, следует, что $CB_2 = B_2D$.
5. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle B_1CB_2$ и $\triangle B_3DB_2$.

• $CB_2 = B_2D$ (доказано в п. 4).
• $\angle B_1B_2C = \angle B_3B_2D$ (как вертикальные углы).
• $\angle CB_1B_2 = \angle DB_3B_2$ (как соответственные углы при параллельных прямых $l_1$ и $l_3$ и секущей $b$).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Прямая теорема Фалеса доказана.

Обобщенная теорема Фалеса (теорема о пропорциональных отрезках)

Формулировка: Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки. В более общей форме: параллельные прямые, пересекающие две данные прямые, отсекают на этих прямых пропорциональные отрезки.

Дано: Две прямые $a$ и $b$. Параллельные прямые $l_1, l_2, l_3$ пересекают прямую $a$ в точках $A_1, A_2, A_3$ и прямую $b$ в точках $B_1, B_2, B_3$ соответственно ($l_1 \parallel l_2 \parallel l_3$).

Доказать: $\frac{A_1A_2}{B_1B_2} = \frac{A_2A_3}{B_2B_3}$ (или эквивалентная форма $\frac{A_1A_2}{A_2A_3} = \frac{B_1B_2}{B_2B_3}$).

Доказательство:

Рассмотрим общий случай, когда прямые $a$ и $b$ не параллельны. (Если $a \parallel b$, то $A_1A_2B_2B_1$ и $A_2A_3B_3B_2$ — параллелограммы, откуда $A_1A_2 = B_1B_2$ и $A_2A_3 = B_2B_3$, и равенство пропорций очевидно).

1. Проведем через точку $A_1$ прямую $c$, параллельную прямой $b$. Пусть прямая $c$ пересекает прямые $l_2$ и $l_3$ в точках $D_2$ и $D_3$ соответственно.
2. Рассмотрим угол с вершиной в точке $A_1$, образованный прямыми $a$ и $c$. Параллельные прямые $l_2$ и $l_3$ пересекают стороны этого угла. Таким образом, прямая $A_2D_2$ параллельна прямой $A_3D_3$ (так как обе лежат на параллельных прямых $l_2$ и $l_3$).
3. Треугольники $\triangle A_1A_2D_2$ и $\triangle A_1A_3D_3$ подобны по двум углам (угол при вершине $A_1$ общий, а углы $\angle A_1A_2D_2$ и $\angle A_1A_3D_3$ равны как соответственные при параллельных $l_2, l_3$ и секущей $a$).
4. Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон: $\frac{A_1A_2}{A_1A_3} = \frac{A_1D_2}{A_1D_3}$.
5. Используя свойство пропорций ($ \frac{x}{y} = \frac{z}{w} \Rightarrow \frac{x}{y-x} = \frac{z}{w-z} $), получаем: $\frac{A_1A_2}{A_1A_3 - A_1A_2} = \frac{A_1D_2}{A_1D_3 - A_1D_2}$.Это преобразуется в: $\frac{A_1A_2}{A_2A_3} = \frac{A_1D_2}{D_2D_3}$.
6. Рассмотрим четырехугольник $A_1B_1B_2D_2$. По построению $A_1D_2 \parallel B_1B_2$ (так как $c \parallel b$). По условию $A_1B_1 \parallel D_2B_2$ (так как они лежат на параллельных прямых $l_1$ и $l_2$). Значит, $A_1B_1B_2D_2$ — параллелограмм. Отсюда $A_1D_2 = B_1B_2$.
7. Рассмотрим четырехугольник $D_2B_2B_3D_3$. По построению $D_2D_3 \parallel B_2B_3$ (так как $c \parallel b$). По условию $D_2B_2 \parallel D_3B_3$ (так как они лежат на параллельных прямых $l_2$ и $l_3$). Значит, $D_2B_2B_3D_3$ — параллелограмм. Отсюда $D_2D_3 = B_2B_3$.
8. Подставим выражения для $A_1D_2$ и $D_2D_3$ из пунктов 6 и 7 в пропорцию, полученную в пункте 5:
$\frac{A_1A_2}{A_2A_3} = \frac{B_1B_2}{B_2B_3}$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Обобщенная теорема Фалеса доказана.