Номер 4, страница 162 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4. Что такое параллелограмм?

Определение

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны. Это означает, что если в четырёхугольнике ABCD сторона AB параллельна стороне CD, а сторона BC параллельна стороне AD, то такой четырёхугольник является параллелограммом ($AB \parallel CD$, $BC \parallel AD$).

На рисунке показан параллелограмм ABCD со сторонами $a$ и $b$, диагоналями $d_1$ и $d_2$ и углом $\alpha$ между смежными сторонами.

Свойства параллелограмма

Любой параллелограмм обладает следующими свойствами:

1. Противоположные стороны равны. Для параллелограмма ABCD: $AB = CD$ и $BC = AD$.

2. Противоположные углы равны. $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$.

3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Например, $\angle A + \angle B = 180^\circ$ и $\angle B + \angle C = 180^\circ$.

4. Диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам. Если O — точка пересечения диагоналей AC и BD, то $AO = OC$ и $BO = OD$.

5. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$.

6. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма.

Признаки параллелограмма

Четырёхугольник является параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Две его противоположные стороны равны и параллельны (например, $AB = CD$ и $AB \parallel CD$).

2. Его противоположные стороны попарно равны ($AB = CD$ и $BC = AD$).

3. Его противоположные углы попарно равны ($\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$).

4. Его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Основные формулы

Пусть $a$ и $b$ — смежные стороны параллелограмма, $h_a$ — высота, опущенная на сторону $a$, $\alpha$ — угол между сторонами $a$ и $b$, $d_1, d_2$ — диагонали.

Периметр параллелограмма: $P = 2(a+b)$.

Площадь параллелограмма можно вычислить несколькими способами:

• Через сторону и высоту: $S = a \cdot h_a$.

• Через две стороны и угол между ними: $S = a \cdot b \cdot \sin\alpha$.

• Через диагонали и угол $\gamma$ между ними: $S = \frac{1}{2}d_1d_2\sin\gamma$.

Частные случаи параллелограмма

Некоторые известные геометрические фигуры являются частными случаями параллелограмма, обладающими дополнительными свойствами:

• Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые (равны $90^\circ$).

• Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

• Квадрат — это параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы прямые. Квадрат является одновременно и прямоугольником, и ромбом.

Ответ: Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Его ключевые свойства включают равенство противоположных сторон и углов, а также то, что его диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, ромб и квадрат.