Номер 28, страница 162 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

28. Как построить перпендикуляр, опущенный из данной точки к прямой?

Задача построения перпендикуляра из данной точки к прямой, используя циркуль и линейку, решается по-разному в зависимости от того, лежит ли точка на прямой или нет. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Точка не лежит на прямой

Пусть дана прямая $l$ и точка $P$, не принадлежащая этой прямой. Требуется построить прямую, проходящую через точку $P$ и перпендикулярную прямой $l$.

Алгоритм построения:

1. Установите острие циркуля в точку $P$. Выберите такой радиус, чтобы дуга, проведенная из точки $P$, пересекла прямую $l$ в двух различных точках. Обозначим эти точки пересечения как $A$ и $B$.

2. Теперь из точек $A$ и $B$ как из центров проведите две дуги одинакового радиуса (радиус должен быть больше половины длины отрезка $AB$). Эти дуги должны пересечься в некоторой точке $Q$. Для удобства можно провести эти дуги с той стороны от прямой $l$, где не лежит точка $P$.

3. С помощью линейки соедините точки $P$ и $Q$. Прямая $PQ$ и будет искомым перпендикуляром.

Доказательство: По построению, точка $P$ равноудалена от точек $A$ и $B$ (так как $PA$ и $PB$ — радиусы одной дуги). Точка $Q$ также равноудалена от точек $A$ и $B$ (так как $QA$ и $QB$ — радиусы равных дуг). Любая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на его срединном перпендикуляре. Следовательно, прямая $PQ$ является срединным перпендикуляром к отрезку $AB$. Поскольку точки $A$ и $B$ лежат на прямой $l$, то прямая $PQ$ перпендикулярна прямой $l$.

Ответ: Прямая, проходящая через точки $P$ и $Q$, является искомым перпендикуляром к прямой $l$, опущенным из точки $P$.

Случай 2: Точка лежит на прямой

Пусть дана прямая $l$ и точка $P$, принадлежащая этой прямой. Требуется построить прямую, проходящую через точку $P$ и перпендикулярную прямой $l$ (такую операцию также называют "восстановлением перпендикуляра").

Алгоритм построения:

1. Установите острие циркуля в точку $P$. Проведите дугу (или окружность) произвольного радиуса так, чтобы она пересекла прямую $l$ в двух точках. Обозначим эти точки как $A$ и $B$.

2. Из точек $A$ и $B$ как из центров проведите две дуги одинакового радиуса (этот радиус должен быть больше, чем расстояние $PA$). Эти дуги пересекутся в точке $Q$.

3. С помощью линейки соедините точки $P$ и $Q$. Прямая $PQ$ и будет искомым перпендикуляром.

Доказательство: По построению, точка $P$ является серединой отрезка $AB$ ($PA = PB$ как радиусы). Точка $Q$ равноудалена от точек $A$ и $B$ ($QA = QB$ как радиусы равных дуг). Следовательно, обе точки $P$ и $Q$ лежат на срединном перпендикуляре к отрезку $AB$. Значит, прямая $PQ$ и есть срединный перпендикуляр к $AB$. А так как отрезок $AB$ лежит на прямой $l$, то прямая $PQ$ перпендикулярна прямой $l$.

Ответ: Прямая, проходящая через точки $P$ и $Q$, является искомым перпендикуляром к прямой $l$ в точке $P$.