Номер 25, страница 162 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

25. Как построить угол, равный данному углу?

Для построения угла, равного данному, с помощью циркуля и линейки без делений, необходимо выполнить следующий алгоритм. Этот метод основан на построении треугольника, равного другому треугольнику по трем сторонам.

Пусть нам дан некоторый угол с вершиной в точке $A$ и луч с началом в точке $O$.

Алгоритм построения:

1. С центром в вершине данного угла $A$ проводим окружность (или дугу) произвольного радиуса $r$. Она пересечет стороны угла в двух точках, назовем их $B$ и $C$.
2. С центром в начальной точке луча $O$ проводим дугу того же радиуса $r$. Она пересечет луч в точке, которую назовем $B_1$.
3. Измеряем циркулем расстояние между точками $B$ и $C$ (длину хорды $BC$).
4. Не меняя раствора циркуля, устанавливаем его острие в точку $B_1$ и проводим дугу так, чтобы она пересекла дугу, построенную в шаге 2. Точку пересечения дуг назовем $C_1$.
5. С помощью линейки проводим луч из точки $O$ через точку $C_1$.

Полученный в результате этих построений угол $\angle B_1OC_1$ будет равен данному углу $\angle BAC$.

Доказательство корректности:

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle OB_1C_1$.

По построению:

• Стороны $AB$ и $AC$ являются радиусами первой дуги, т.е. $AB = AC = r$.
• Стороны $OB_1$ и $OC_1$ являются радиусами второй дуги, построенной тем же радиусом $r$, т.е. $OB_1 = OC_1 = r$.
• Следовательно, $AB = AC = OB_1 = OC_1$.
• На шаге 4 мы отложили от точки $B_1$ расстояние, равное длине хорды $BC$, чтобы найти точку $C_1$. Таким образом, $B_1C_1 = BC$.

Поскольку три стороны одного треугольника ($\triangle ABC$) соответственно равны трем сторонам другого треугольника ($\triangle OB_1C_1$), эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников (SSS). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов, а значит, $\angle BAC = \angle B_1OC_1$. Построение выполнено верно.

Ответ: Описанный выше алгоритм, состоящий из 5 шагов, позволяет построить угол, равный данному, с использованием только циркуля и линейки.