Номер 26, страница 162 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

26. Как строится биссектриса угла?

Биссектриса угла — это луч, который исходит из вершины угла и делит его на два равных по величине угла. Классическое построение биссектрисы выполняется с помощью циркуля и линейки (без делений).

Ниже представлен пошаговый алгоритм построения.

Шаг 1. Проведение первой дуги

Пусть дан угол с вершиной в точке $O$. Устанавливаем острие циркуля в вершину $O$ и проводим дугу произвольного радиуса $R$. Эта дуга пересечет стороны угла в двух точках, которые мы назовем $A$ и $B$.

Шаг 2. Нахождение точки пересечения

Из точек $A$ и $B$, как из центров, проводим две новые дуги одинакового радиуса $r$. Важно, чтобы этот радиус был одинаковым для обеих дуг и достаточным для их пересечения (то есть $r > \frac{1}{2}AB$). Для удобства можно использовать тот же радиус, что и на первом шаге ($r=R$). Дуги пересекутся в точке внутри угла, которую мы обозначим $C$.

Шаг 3. Построение биссектрисы

С помощью линейки соединяем вершину угла $O$ с точкой пересечения дуг $C$. Полученный луч $OC$ и есть искомая биссектриса угла $\angle AOB$.

Доказательство корректности построения

Чтобы доказать, что луч $OC$ действительно является биссектрисой, рассмотрим два треугольника, которые образуются в результате построений: $\triangle OAC$ и $\triangle OBC$.

Во-первых, сторона $OA$ равна стороне $OB$, так как обе точки $A$ и $B$ были получены при помощи дуги одного и того же радиуса $R$, проведенной из центра $O$.

Во-вторых, сторона $AC$ равна стороне $BC$, так как точки $A$ и $B$ были центрами дуг одинакового радиуса $r$, при пересечении которых была получена точка $C$.

В-третьих, сторона $OC$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, треугольники $\triangle OAC$ и $\triangle OBC$ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов, а именно $\angle AOC = \angle BOC$. Это по определению означает, что луч $OC$ делит угол $\angle AOB$ пополам, то есть является его биссектрисой.

Ответ: Для построения биссектрисы угла с помощью циркуля и линейки необходимо выполнить следующую последовательность действий: 1) из вершины угла провести дугу, пересекающую его стороны в двух точках (A и B); 2) из полученных точек A и B провести две дуги одинакового радиуса так, чтобы они пересеклись внутри угла (в точке C); 3) соединить вершину угла с точкой пересечения C. Полученный луч и будет биссектрисой.