Номер 2, страница 162 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2. Какова сумма внутренних и внешних углов выпуклого многоугольника?

Для ответа на этот вопрос необходимо найти сумму внутренних углов и сумму внешних углов выпуклого многоугольника, а затем сложить полученные значения. Пусть многоугольник имеет $n$ сторон (и, соответственно, $n$ вершин и $n$ углов), где $n$ — целое число, $n \ge 3$.

Сумма внутренних углов

Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника определяется по известной теореме. Её можно вывести, разделив многоугольник на треугольники. Если провести все возможные диагонали из одной вершины, многоугольник разделится на $(n-2)$ треугольника. Поскольку сумма углов в каждом треугольнике равна $180^{\circ}$, то сумма всех внутренних углов многоугольника ($S_{внутр}$) равна:

$S_{внутр} = 180^{\circ} \cdot (n-2)$

Сумма внешних углов

Внешний угол при вершине многоугольника — это угол, смежный соответствующему внутреннему углу. То есть, сумма внутреннего и внешнего угла при одной и той же вершине равна $180^{\circ}$.

Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника, если брать по одному при каждой вершине, всегда является постоянной величиной и не зависит от числа сторон $n$. Эта сумма равна $360^{\circ}$.

$S_{внеш} = 360^{\circ}$

Общая сумма внутренних и внешних углов

Для нахождения общей суммы ($S_{общая}$) сложим сумму внутренних и сумму внешних углов:

$S_{общая} = S_{внутр} + S_{внеш}$

$S_{общая} = (180^{\circ} \cdot (n-2)) + 360^{\circ}$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$S_{общая} = 180^{\circ} \cdot n - 180^{\circ} \cdot 2 + 360^{\circ}$

$S_{общая} = 180^{\circ} \cdot n - 360^{\circ} + 360^{\circ}$

$S_{общая} = 180^{\circ} \cdot n$

Этот результат можно получить и более простым рассуждением: так как в каждой из $n$ вершин многоугольника сумма внутреннего и смежного с ним внешнего угла равна $180^{\circ}$, то общая сумма всех внутренних и всех внешних углов равна произведению числа вершин на $180^{\circ}$.

Ответ: Сумма внутренних и внешних углов выпуклого многоугольника с $n$ сторонами равна $180^{\circ} \cdot n$.