Номер 29, страница 162 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

29. Что такое серединный перпендикуляр отрезка? Как его построить?

Что такое серединный перпендикуляр отрезка?

Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, которая проходит через середину данного отрезка и перпендикулярна ему.
Рассмотрим отрезок $AB$. Пусть точка $M$ является его серединой (то есть $AM = MB$), а прямая $p$ проходит через точку $M$. Если прямая $p$ перпендикулярна отрезку $AB$ (то есть угол между ними равен $90^\circ$, что записывается как $p \perp AB$), то $p$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$.
Важное свойство серединного перпендикуляра: каждая его точка равноудалена от концов отрезка. Это означает, что для любой точки $P$, лежащей на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$, выполняется равенство длин отрезков $PA = PB$. Это свойство настолько важно, что его часто используют как второе определение: серединный перпендикуляр — это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от концов отрезка.
Ответ: Серединный перпендикуляр отрезка – это прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину.

Как его построить?

Построение серединного перпендикуляра к отрезку является одной из классических задач на построение и выполняется с помощью циркуля и линейки (без делений). Пусть нам дан отрезок $AB$. Алгоритм построения следующий:
1. Установите острие циркуля в один из концов отрезка, например, в точку $A$.
2. Раствором циркуля (радиусом) $R$, который должен быть заведомо больше половины длины отрезка $AB$, проведите дугу окружности.
3. Не изменяя раствор циркуля, перенесите его острие в другой конец отрезка — точку $B$.
4. Проведите вторую дугу окружности тем же радиусом $R$ так, чтобы она пересекла первую дугу в двух точках. Назовем эти точки пересечения $P$ и $Q$.
5. С помощью линейки проведите прямую через полученные точки $P$ и $Q$.

Построенная прямая $PQ$ и будет искомым серединным перпендикуляром к отрезку $AB$.

На рисунке изображен отрезок $AB$. Из его концов, точек $A$ и $B$, как из центров, проведены две дуги окружностей (синяя и красная) одинакового радиуса. Точки их пересечения — $P$ и $Q$. Прямая $PQ$ (зеленая пунктирная линия), проходящая через эти точки, является серединным перпендикуляром. Она пересекает отрезок $AB$ в его середине, точке $M$, под прямым углом.
Ответ: Чтобы построить серединный перпендикуляр, необходимо из концов отрезка провести две пересекающиеся дуги окружности одинакового радиуса (большего, чем половина отрезка). Прямая, проведенная через две точки пересечения этих дуг, и является серединным перпендикуляром.