Номер 5, страница 162 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5. Докажите свойства параллелограмма.

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны. Докажем основные свойства, вытекающие из этого определения.

Свойство 1. Противоположные стороны параллелограмма равны.

Свойство 2. Противоположные углы параллелограмма равны.

Для доказательства этих двух свойств рассмотрим параллелограмм $ABCD$. По определению, $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$. Проведем в нем диагональ $AC$.

Диагональ $AC$ делит параллелограмм на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$. Рассмотрим эти треугольники.

1. Сторона $AC$ у них общая.

2. Угол $\angle 1$ равен углу $\angle 2$ ($\angle BCA = \angle CAD$) как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$.

3. Угол $\angle 3$ равен углу $\angle 4$ ($\angle BAC = \angle DCA$) как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$.

Таким образом, $\triangle ABC = \triangle CDA$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует, что их соответствующие элементы равны:

• $AB = CD$ и $BC = DA$. Это доказывает свойство 1.

• $\angle B = \angle D$. Также $\angle A = \angle 3 + \angle 2 = \angle 4 + \angle 1 = \angle C$. Это доказывает свойство 2.

Ответ: В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Свойство 3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. Проведем диагонали $AC$ и $BD$, которые пересекаются в точке $O$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$.

1. Сторона $AB = CD$ по свойству 1 параллелограмма.

2. Угол $\angle BAO$ равен углу $\angle DCO$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$.

3. Угол $\angle ABO$ равен углу $\angle CDO$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $BD$.

Следовательно, $\triangle AOB = \triangle COD$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $AO = CO$ и $BO = DO$. Это означает, что точка пересечения $O$ делит обе диагонали пополам.

Ответ: Диагонали параллелограмма в точке их пересечения делятся пополам.

Свойство 4. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^\circ$.

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. По определению, $AD \parallel BC$.

Рассмотрим сторону $AB$ как секущую к параллельным прямым $AD$ и $BC$. Углы $\angle DAB$ и $\angle ABC$ (на рисунке $\alpha$ и $\beta$) являются односторонними внутренними углами. По свойству параллельных прямых, их сумма равна $180^\circ$.

$\angle A + \angle B = 180^\circ$

Аналогично доказывается для любой другой пары соседних углов: $\angle B + \angle C = 180^\circ$, $\angle C + \angle D = 180^\circ$, $\angle D + \angle A = 180^\circ$.

Ответ: Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна $180^\circ$.