Номер 24, страница 162 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

24. Как можно построить треугольник по трем сторонам, двум сторонам и углу между ними, стороне и прилежащим к ней двум углам?

Для построения треугольника с помощью циркуля и линейки (без делений) используются три основных признака равенства треугольников. Ниже приведено пошаговое описание каждого из трёх методов построения.

Построение треугольника по трем сторонам

Пусть даны три отрезка, длины которых равны $a$, $b$ и $c$. Необходимо построить треугольник со сторонами, равными этим отрезкам. Построение возможно только в том случае, если выполняется неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны ($a+b > c$, $a+c > b$, $b+c > a$).

План построения:
1. С помощью линейки проводим произвольную прямую и отмечаем на ней точку А.
2. С помощью циркуля измеряем длину стороны $c$ и откладываем ее от точки А на прямой, получая точку В. Отрезок АВ является первой стороной будущего треугольника.
3. Измеряем циркулем длину стороны $b$. Ставим острие циркуля в точку А и проводим дугу окружности радиусом $b$.
4. Измеряем циркулем длину стороны $a$. Ставим острие циркуля в точку В и проводим дугу окружности радиусом $a$ так, чтобы она пересекла первую дугу.
5. Точку пересечения дуг обозначаем буквой С. Эта точка будет третьей вершиной треугольника.
6. Соединяем точки А, В и С отрезками. Полученный треугольник АВС является искомым.

Ответ: Чтобы построить треугольник по трем сторонам $a, b, c$, нужно отложить одну из сторон (например, $c$) на прямой, а затем из ее концов провести дуги окружностей радиусами, равными двум другим сторонам ($a$ и $b$). Точка пересечения дуг будет третьей вершиной треугольника.

Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Пусть даны два отрезка длиной $a$ и $b$ и угол $\gamma$, заключенный между ними. Необходимо построить треугольник с этими элементами.

План построения:
1. Проводим произвольный луч с началом в точке С.
2. От луча в точке С откладываем угол, равный данному углу $\gamma$. Для этого проводим дугу произвольного радиуса с центром в вершине данного угла, а затем такую же дугу с центром в точке С. Измеряем циркулем расстояние между точками пересечения дуги со сторонами данного угла и откладываем это расстояние на дуге, проведенной из точки С. Через точку С и полученную точку проводим второй луч.
3. На одном из лучей от точки С откладываем отрезок, равный стороне $a$, и получаем точку В.
4. На втором луче от точки С откладываем отрезок, равный стороне $b$, и получаем точку А.
5. Соединяем точки А и В отрезком. Полученный треугольник АВС является искомым.

Ответ: Чтобы построить треугольник по двум сторонам и углу между ними, нужно построить данный угол, а затем на его сторонах от вершины отложить отрезки, равные данным сторонам. Концы этих отрезков будут двумя другими вершинами треугольника.

Построение треугольника по стороне и прилежащим к ней двум углам

Пусть дан отрезок длиной $c$ и два угла $\alpha$ и $\beta$, прилежащие к этой стороне. Необходимо построить треугольник. Построение возможно, если сумма данных углов меньше 180° ($\alpha + \beta < 180^\circ$).

План построения:
1. Проводим прямую и откладываем на ней отрезок АВ, равный данной стороне $c$.
2. От луча АВ в точке А откладываем угол, равный углу $\alpha$ (построение угла описано в предыдущем пункте). Проводим луч из точки А.
3. От луча ВА в точке В откладываем угол, равный углу $\beta$. Проводим луч из точки В.
4. Точка пересечения построенных лучей является третьей вершиной треугольника. Обозначаем ее С.
5. Полученный треугольник АВС является искомым.

Ответ: Чтобы построить треугольник по стороне и двум прилежащим углам, нужно построить отрезок, равный данной стороне, а затем от его концов построить два луча под заданными углами. Точка пересечения этих лучей будет третьей вершиной треугольника.