Номер 18, страница 162 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

18. Докажите теорему о сумме внутренних углов треугольника.

Теорема: Сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$.

Доказательство:

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Обозначим его внутренние углы греческими буквами: $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$, $\angle C = \gamma$. Требуется доказать, что $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

1. Через вершину $B$ проведем прямую $DE$, параллельную стороне $AC$.

2. Угол $\angle DBE$ является развернутым, его величина составляет $180^\circ$. Этот угол состоит из трех углов: $\angle DBA$, $\angle ABC$ (угол $\beta$) и $\angle CBE$. Таким образом, мы можем записать: $\angle DBA + \beta + \angle CBE = 180^\circ$.

3. Прямые $DE$ и $AC$ параллельны, а прямая $AB$ является для них секущей. Углы $\angle DBA$ и $\angle BAC$ (угол $\alpha$) — это внутренние накрест лежащие углы. По свойству параллельных прямых, такие углы равны: $\angle DBA = \alpha$.

4. Аналогично, прямые $DE$ и $AC$ параллельны, а прямая $BC$ является для них секущей. Углы $\angle CBE$ и $\angle BCA$ (угол $\gamma$) также являются внутренними накрест лежащими. Следовательно, они равны: $\angle CBE = \gamma$.

5. Теперь подставим полученные равенства в выражение из пункта 2. Заменив $\angle DBA$ на $\alpha$ и $\angle CBE$ на $\gamma$, получим: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

Таким образом, доказано, что сумма внутренних углов треугольника равна $180^\circ$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Сумма внутренних углов треугольника равна $180^\circ$.