Номер 20, страница 162 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

20. Что такое прямоугольный треугольник? Какие его свойства вы знаете?

Что такое прямоугольный треугольник?

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов прямой, то есть равен $90^\circ$.

На рисунке показан треугольник ABC с прямым углом C.
Стороны, образующие прямой угол (BC и AC), называются катетами (на рисунке это стороны $a$ и $b$ соответственно).
Сторона, лежащая напротив прямого угла (AB), называется гипотенузой (на рисунке это сторона $c$). Гипотенуза всегда длиннее любого из катетов.

Ответ: Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол равен $90^\circ$. Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, — гипотенузой.

Какие его свойства вы знаете?

Основные свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$. Если острые углы обозначить как $\alpha$ и $\beta$, то $\alpha + \beta = 90^\circ$.

2. Теорема Пифагора. Квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Если $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза, то $a^2 + b^2 = c^2$.

3. Свойство угла в $30^\circ$. Катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Если в прямоугольном треугольнике есть угол $30^\circ$, то противолежащий ему катет равен $\frac{c}{2}$.

4. Медиана к гипотенузе. Медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы, а радиус этой окружности $R$ равен $R = \frac{c}{2}$.

5. Площадь. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $S = \frac{1}{2}ab$. Также ее можно найти как половину произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней: $S = \frac{1}{2}ch_c$.

6. Высота к гипотенузе. Высота $h_c$, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два треугольника, которые подобны исходному и подобны друг другу. Длина этой высоты может быть вычислена через катеты и гипотенузу: $h_c = \frac{ab}{c}$. Высота является средним геометрическим между проекциями катетов на гипотенузу ($a_c$ и $b_c$): $h_c^2 = a_c \cdot b_c$. Каждый катет является средним геометрическим между гипотенузой и своей проекцией на гипотенузу: $a^2 = c \cdot a_c$ и $b^2 = c \cdot b_c$.

7. Тригонометрические соотношения. Для острого угла $\alpha$ (например, угла A), противолежащего катету $a$ и прилежащего к катету $b$:
— Синус: $\sin \alpha = \frac{a}{c}$ (отношение противолежащего катета к гипотенузе).
— Косинус: $\cos \alpha = \frac{b}{c}$ (отношение прилежащего катета к гипотенузе).
— Тангенс: $\tan \alpha = \frac{a}{b}$ (отношение противолежащего катета к прилежащему).

8. Радиус вписанной окружности. Радиус $r$ окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно найти по формуле $r = \frac{a+b-c}{2}$.

Ответ: Свойства прямоугольного треугольника включают: сумма острых углов равна $90^\circ$; теорема Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$); катет против угла $30^\circ$ равен половине гипотенузы; медиана к гипотенузе равна ее половине; площадь равна половине произведения катетов; а также специфические тригонометрические соотношения и формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей.