Номер 22, страница 162 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

22. Что такое перпендикуляр, секущая, проекция? Какие их свойства вы знаете?

Перпендикуляр

Перпендикуляр, опущенный из данной точки на данную прямую, — это отрезок, соединяющий эту точку с точкой на прямой и образующий с ней прямой угол ($90^\circ$). Точка пересечения перпендикуляра с прямой называется основанием перпендикуляра. Две прямые (или отрезки) называются перпендикулярными, если угол между ними равен $90^\circ$. Обозначается символом $\perp$, например, $AH \perp a$.

Основные свойства перпендикуляра:
1. Из точки, не лежащей на прямой, можно провести к этой прямой только один перпендикуляр.
2. Длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую, является кратчайшим расстоянием от этой точки до данной прямой.
3. Две прямые, перпендикулярные одной и той же третьей прямой, параллельны между собой.

Ответ: Перпендикуляр — это отрезок, проведенный из точки к прямой под прямым углом ($90^\circ$). Его длина является наименьшим расстоянием от точки до прямой.

Секущая (в данном контексте — наклонная)

Наклонная, проведенная из данной точки к данной прямой, — это любой отрезок, который соединяет данную точку с точкой на прямой и не является перпендикуляром. На рисунке выше отрезок $AM$ является наклонной, проведенной из точки $A$ к прямой $a$.

Основные свойства наклонной:
1. Любая наклонная, проведенная из точки к прямой, длиннее перпендикуляра, проведенного из той же точки к той же прямой ($AM > AH$).
2. Из двух наклонных, проведенных из одной точки к прямой, больше та, у которой проекция на эту прямую длиннее.
3. Если две наклонные, проведенные из одной точки к прямой, равны, то равны и их проекции. Верно и обратное: если проекции двух наклонных равны, то равны и сами наклонные.

Ответ: Наклонная (или секущая в этом контексте) — это отрезок, соединяющий точку, не лежащую на прямой, с точкой на прямой, и не перпендикулярный этой прямой.

Проекция

Проекция точки на прямую — это основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Ортогональной проекцией наклонной на прямую называется отрезок, соединяющий основание перпендикуляра и основание наклонной. На рисунке выше отрезок $HM$ — это проекция наклонной $AM$ на прямую $a$.

Основные свойства проекции:
1. Длина проекции связана с длиной наклонной и перпендикуляра по теореме Пифагора. Для прямоугольного треугольника $AHM$: $AM^2 = AH^2 + HM^2$. Отсюда длина проекции $HM = \sqrt{AM^2 - AH^2}$.
2. Проекция перпендикуляра на прямую является точкой (его основанием).
3. Чем длиннее наклонная (проведенная из той же точки), тем длиннее ее проекция.

Ответ: Проекция наклонной на прямую — это отрезок на этой прямой, заключенный между основанием перпендикуляра и основанием наклонной, проведенных из одной и той же точки.