Номер 4.152, страница 160 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.152. Высота треугольника, равная 4 см, делит его основание в отношении 1 : 8. Отрезок, параллельный этой высоте, делит данный треугольник на две равновеликие части. Найдите длину отрезка.

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором к основанию $AC$ проведена высота $BH$. По условию задачи, длина высоты $BH = 4$ см. Основание высоты, точка $H$, делит сторону $AC$ на два отрезка, $AH$ и $HC$, в отношении $1:8$. Введем коэффициент пропорциональности $k$, тогда $AH = k$ и $HC = 8k$. Длина всего основания $AC$ будет равна $AH + HC = k + 8k = 9k$.

Площадь всего треугольника $ABC$ вычисляется по формуле: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot (9k) \cdot 4 = 18k$ см$^2$.

По условию, отрезок, параллельный высоте $BH$, делит треугольник на две равновеликие части. Это означает, что площадь каждой из этих частей равна половине площади исходного треугольника, то есть $S_1 = S_2 = \frac{S_{ABC}}{2} = \frac{18k}{2} = 9k$ см$^2$.

Так как искомый отрезок параллелен высоте $BH$, он также будет перпендикулярен основанию $AC$. Обозначим этот отрезок $PQ$, где точка $Q$ лежит на основании $AC$, а точка $P$ — на одной из боковых сторон ($AB$ или $BC$). Высота $BH$ делит исходный треугольник на два прямоугольных треугольника: $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$. Искомый отрезок $PQ$ должен располагаться в одном из них.

Рассмотрим два возможных случая расположения отрезка $PQ$.

1. Отрезок $PQ$ расположен в большем прямоугольном треугольнике $\triangle CBH$.
В этом случае точка $Q$ находится на отрезке $HC$, а точка $P$ — на стороне $BC$. Отрезок $PQ$ отсекает от угла $C$ треугольник $\triangle PQC$. Этот треугольник $\triangle PQC$ является одной из двух равновеликих частей, на которые делится исходный $\triangle ABC$. Следовательно, его площадь $S_{PQC} = 9k$. Площадь прямоугольного треугольника $\triangle CBH$ равна $S_{CBH} = \frac{1}{2} \cdot HC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 8k \cdot 4 = 16k$. Треугольники $\triangle PQC$ и $\triangle CBH$ подобны, так как у них общий угол $C$ и оба они прямоугольные. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия их соответствующих сторон (в нашем случае высот $PQ$ и $BH$). Пусть длина искомого отрезка $PQ = y$. Тогда: $\frac{S_{PQC}}{S_{CBH}} = \left(\frac{PQ}{BH}\right)^2 = \left(\frac{y}{4}\right)^2$ Подставим известные значения площадей: $\frac{9k}{16k} = \left(\frac{y}{4}\right)^2$ $\frac{9}{16} = \frac{y^2}{16}$ $y^2 = 9$ $y = 3$ см (так как длина отрезка — положительная величина).

2. Отрезок $PQ$ расположен в меньшем прямоугольном треугольнике $\triangle ABH$.
В этом случае отрезок отсекал бы от угла $A$ треугольник, площадь которого также должна быть равна $9k$. Однако площадь всего треугольника $\triangle ABH$ равна $S_{ABH} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot k \cdot 4 = 2k$. Площадь отсекаемой части не может быть больше площади фигуры, из которой ее отсекают. Так как $9k > 2k$ (при $k>0$), этот случай невозможен.

Таким образом, единственно возможным является первый случай.

Ответ: Длина отрезка равна $3$ см.