Номер 4.154, страница 161 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.154. Найдите углы параллелограмма периметром $2p$ и высотами $h_1$, $h_2$.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$. Его периметр $P = 2(a+b)$. По условию, $P=2p$, следовательно, полупериметр $p = a+b$.

Пусть $h_1$ — высота, проведенная к стороне $a$, а $h_2$ — высота, проведенная к стороне $b$. Пусть $\alpha$ — острый угол между сторонами $a$ и $b$.

Площадь параллелограмма $S$ можно выразить двумя способами: через сторону и высоту, проведенную к ней, и через две стороны и синус угла между ними.

$S = a \cdot h_1 = b \cdot h_2$

$S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$

Приравняем выражения для площади, чтобы связать высоты со сторонами и углом:

Из $a \cdot h_1 = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$ получаем $h_1 = b \cdot \sin(\alpha)$, откуда $b = \frac{h_1}{\sin(\alpha)}$.

Аналогично, из $b \cdot h_2 = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$ получаем $h_2 = a \cdot \sin(\alpha)$, откуда $a = \frac{h_2}{\sin(\alpha)}$.

Теперь подставим полученные выражения для сторон $a$ и $b$ в формулу полупериметра $a+b=p$:

$\frac{h_2}{\sin(\alpha)} + \frac{h_1}{\sin(\alpha)} = p$

Сложим дроби:

$\frac{h_1 + h_2}{\sin(\alpha)} = p$

Отсюда выражаем синус угла $\alpha$:

$\sin(\alpha) = \frac{h_1 + h_2}{p}$

Таким образом, один из углов параллелограмма равен:

$\alpha = \arcsin\left(\frac{h_1 + h_2}{p}\right)$

Сумма соседних углов параллелограмма равна $180^\circ$, поэтому второй угол $\beta$ равен:

$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - \arcsin\left(\frac{h_1 + h_2}{p}\right)$

Ответ: углы параллелограмма равны $\arcsin\left(\frac{h_1 + h_2}{p}\right)$ и $180^\circ - \arcsin\left(\frac{h_1 + h_2}{p}\right)$.