Номер 1.39, страница 29 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.39. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ имеют общее начало.

1) Взяв в качестве одного из составляющих вектора $\vec{a}$ вектор $\vec{b}$, постройте его второй составляющий вектор $\vec{c}$ ;

2) наоборот, взяв в качестве первого составляющего вектора $\vec{b}$ вектор $\vec{a}$, постройте его второй составляющий вектор $\vec{d}$. Как будут расположены векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$?

Пусть векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ имеют общее начало в точке $O$. Обозначим конец вектора $\vec{a}$ как точку $A$, а конец вектора $\vec{b}$ как точку $B$. Таким образом, мы имеем $\vec{a} = \vec{OA}$ и $\vec{b} = \vec{OB}$. Построим на этих векторах как на сторонах параллелограмм $OADB$.

1) Взяв в качестве одного из составляющих вектора $\vec{a}$ вектор $\vec{b}$, мы ищем второй составляющий вектор $\vec{c}$. Это означает, что вектор $\vec{a}$ является суммой векторов $\vec{b}$ и $\vec{c}$:

$\vec{a} = \vec{b} + \vec{c}$

Чтобы найти вектор $\vec{c}$, выразим его из этого равенства:

$\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$

Геометрически разность векторов $\vec{a} = \vec{OA}$ и $\vec{b} = \vec{OB}$, выходящих из одной точки $O$, представляет собой вектор, соединяющий их концы (точки $B$ и $A$) и направленный от конца вычитаемого ($\vec{b}$) к концу уменьшаемого ($\vec{a}$). Таким образом, вектор $\vec{c}$ — это вектор, идущий из точки $B$ в точку $A$.

$\vec{c} = \vec{BA}$

На рисунке этот вектор изображен красным цветом.

Ответ: Второй составляющий вектор $\vec{c}$ равен разности векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, то есть $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$.

2) Теперь, наоборот, взяв в качестве первого составляющего вектора $\vec{b}$ вектор $\vec{a}$, мы ищем второй составляющий вектор $\vec{d}$. Это означает, что вектор $\vec{b}$ является суммой векторов $\vec{a}$ и $\vec{d}$:

$\vec{b} = \vec{a} + \vec{d}$

Выразим из этого равенства искомый вектор $\vec{d}$:

$\vec{d} = \vec{b} - \vec{a}$

Геометрически этот вектор соединяет концы векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ (точки $A$ и $B$) и направлен от конца вычитаемого ($\vec{a}$) к концу уменьшаемого ($\vec{b}$). Таким образом, вектор $\vec{d}$ — это вектор, идущий из точки $A$ в точку $B$.

$\vec{d} = \vec{AB}$

На рисунке этот вектор изображен зеленым цветом.

Сравним полученные векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$. Мы видим, что $\vec{c} = \vec{BA}$ и $\vec{d} = \vec{AB}$. Эти векторы соединяют одни и те же точки, но направлены в противоположные стороны. Алгебраически:

$\vec{d} = \vec{b} - \vec{a} = -(\vec{a} - \vec{b}) = -\vec{c}$

Векторы, которые равны по модулю и противоположны по направлению, называются противоположными.

Ответ: Второй составляющий вектор $\vec{d}$ равен разности векторов $\vec{b}$ и $\vec{a}$, то есть $\vec{d} = \vec{b} - \vec{a}$. Векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$ являются противоположными ($\vec{d} = -\vec{c}$): они коллинеарны, равны по модулю и направлены в противоположные стороны.