Номер 1.36, страница 28 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.36. Дан равносторонний треугольник ABC со стороной $a$.

Найдите:

1) $ |\vec{AB} + \vec{BC}| $

2) $ |\vec{AB} + \vec{AC}| $

3) $ |\vec{AB} + \vec{CB}| $

4) $ |\vec{BA} - \vec{BC}| $

5) $ |\vec{AB} - \vec{AC}| $.

По условию задачи, дан равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$. Это означает, что длины всех его сторон равны $a$, а все углы равны $60^\circ$.

$|\vec{AB}| = |\vec{BC}| = |\vec{AC}| = a$

$\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$

Для нахождения модуля суммы или разности векторов будем использовать как геометрические правила (правило треугольника, правило параллелограмма), так и формулу, связывающую модуль вектора с его скалярным квадратом: $|\vec{x}|^2 = \vec{x} \cdot \vec{x}$. Модуль суммы векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$ вычисляется по формуле $|\vec{u}+\vec{v}| = \sqrt{|\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + 2(\vec{u} \cdot \vec{v})}$, а модуль разности — $|\vec{u}-\vec{v}| = \sqrt{|\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{v})}$, где скалярное произведение $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$, а $\theta$ — угол между векторами.

1) $|\vec{AB} + \vec{BC}|$

Согласно правилу сложения векторов (правило треугольника или тождество Шаля), сумма векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ равна вектору $\vec{AC}$, так как начало второго вектора совпадает с концом первого.

$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

Следовательно, модуль этой суммы равен модулю (длине) вектора $\vec{AC}$.

$|\vec{AB} + \vec{BC}| = |\vec{AC}|$

Поскольку треугольник $ABC$ равносторонний со стороной $a$, длина стороны $AC$ равна $a$.

$|\vec{AC}| = a$

Ответ: $a$

2) $|\vec{AB} + \vec{AC}|$

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ выходят из одной точки $A$. Их сумма по правилу параллелограмма будет диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах. Так как $|\vec{AB}| = |\vec{AC}| = a$, этот параллелограмм будет ромбом. Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ равен углу при вершине $A$, то есть $\angle BAC = 60^\circ$.

Воспользуемся формулой для модуля суммы векторов:

$|\vec{AB} + \vec{AC}|^2 = |\vec{AB}|^2 + |\vec{AC}|^2 + 2(\vec{AB} \cdot \vec{AC})$

Скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\angle BAC) = a \cdot a \cdot \cos(60^\circ) = a^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$.

Подставим значения:

$|\vec{AB} + \vec{AC}|^2 = a^2 + a^2 + 2 \cdot \frac{a^2}{2} = 2a^2 + a^2 = 3a^2$

Следовательно, модуль вектора равен:

$|\vec{AB} + \vec{AC}| = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

Ответ: $a\sqrt{3}$

3) $|\vec{AB} + \vec{CB}|$

Для удобства приведем векторы к общему началу. Заметим, что $\vec{CB} = -\vec{BC}$. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CB}$ приложены к разным точкам. Преобразуем выражение, используя свойство модуля: $|-\vec{v}| = |\vec{v}|$.

$|\vec{AB} + \vec{CB}| = |-(-\vec{AB} - \vec{CB})| = |-\vec{AB} + \vec{BC}| = |-( \vec{BA} + \vec{BC})| = |\vec{BA} + \vec{BC}|$

Теперь мы ищем модуль суммы векторов $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$, которые выходят из одной точки $B$. Угол между ними равен $\angle ABC = 60^\circ$.

Применим формулу для модуля суммы:

$|\vec{BA} + \vec{BC}|^2 = |\vec{BA}|^2 + |\vec{BC}|^2 + 2(\vec{BA} \cdot \vec{BC})$

Скалярное произведение $\vec{BA} \cdot \vec{BC} = |\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(\angle ABC) = a \cdot a \cdot \cos(60^\circ) = \frac{a^2}{2}$.

$|\vec{BA} + \vec{BC}|^2 = a^2 + a^2 + 2 \cdot \frac{a^2}{2} = 3a^2$

$|\vec{BA} + \vec{BC}| = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

Ответ: $a\sqrt{3}$

4) $|\vec{BA} - \vec{BC}|$

Векторы $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$ выходят из одной точки $B$. По определению разности векторов, вектор $\vec{BA} - \vec{BC}$ — это вектор, идущий из конца второго вектора ($C$) в конец первого ($A$).

$\vec{BA} - \vec{BC} = \vec{CA}$

Модуль этого вектора равен длине стороны $CA$.

$|\vec{BA} - \vec{BC}| = |\vec{CA}| = a$

Проверим с помощью формулы:

$|\vec{BA} - \vec{BC}|^2 = |\vec{BA}|^2 + |\vec{BC}|^2 - 2(\vec{BA} \cdot \vec{BC}) = a^2 + a^2 - 2 \cdot (a \cdot a \cdot \cos(60^\circ)) = 2a^2 - 2 \cdot \frac{a^2}{2} = a^2$

$|\vec{BA} - \vec{BC}| = \sqrt{a^2} = a$

Ответ: $a$

5) $|\vec{AB} - \vec{AC}|$

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ выходят из одной точки $A$. По определению разности векторов, вектор $\vec{AB} - \vec{AC}$ — это вектор, соединяющий конец второго вектора ($C$) с концом первого ($B$).

$\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}$

Модуль этого вектора равен длине стороны $CB$.

$|\vec{AB} - \vec{AC}| = |\vec{CB}| = a$

Проверим с помощью формулы:

$|\vec{AB} - \vec{AC}|^2 = |\vec{AB}|^2 + |\vec{AC}|^2 - 2(\vec{AB} \cdot \vec{AC}) = a^2 + a^2 - 2 \cdot (a \cdot a \cdot \cos(60^\circ)) = 2a^2 - 2 \cdot \frac{a^2}{2} = a^2$

$|\vec{AB} - \vec{AC}| = \sqrt{a^2} = a$

Ответ: $a$