Номер 1.29, страница 27 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.29. Самолет сначала пролетел 200 км на северо-восток, а затем – 300 км на восток. Изобразите векторами весь путь самолета и найдите расстояние, на которое удалился самолет от первоначального пункта вылета.

Изобразите векторами весь путь самолета

Путь самолета состоит из двух последовательных перемещений, которые можно представить в виде векторов. Первое перемещение — это вектор $\vec{s_1}$ длиной 200 км, направленный на северо-восток (под углом 45° к направлению на восток). Второе перемещение — вектор $\vec{s_2}$ длиной 300 км, направленный на восток. Результирующий вектор $\vec{s}$ представляет собой сумму этих векторов $\vec{s} = \vec{s_1} + \vec{s_2}$ и показывает конечное смещение самолета от точки вылета A.

Ответ: Изображение пути самолета в виде векторов представлено на схеме выше.

найдите расстояние, на которое удалился самолет от первоначального пункта вылета

Для нахождения итогового расстояния воспользуемся методом разложения векторов на компоненты. Введем систему координат, в которой ось Ox направлена на восток, а ось Oy — на север. Начало отсчета — точка вылета А.

Компоненты первого вектора $\vec{s_1}$ (200 км на северо-восток):
$s_{1x} = |\vec{s_1}| \cdot \cos(45^\circ) = 200 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 100\sqrt{2}$ км.
$s_{1y} = |\vec{s_1}| \cdot \sin(45^\circ) = 200 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 100\sqrt{2}$ км.

Компоненты второго вектора $\vec{s_2}$ (300 км на восток):
$s_{2x} = 300$ км.
$s_{2y} = 0$ км.

Компоненты результирующего вектора $\vec{s}$ равны сумме компонент исходных векторов:
$s_x = s_{1x} + s_{2x} = 100\sqrt{2} + 300$ км.
$s_y = s_{1y} + s_{2y} = 100\sqrt{2} + 0 = 100\sqrt{2}$ км.

Расстояние от первоначального пункта — это длина (модуль) результирующего вектора $|\vec{s}|$, которую найдем по теореме Пифагора:
$|\vec{s}| = \sqrt{s_x^2 + s_y^2} = \sqrt{(300 + 100\sqrt{2})^2 + (100\sqrt{2})^2}$
$|\vec{s}|^2 = (300^2 + 2 \cdot 300 \cdot 100\sqrt{2} + (100\sqrt{2})^2) + (100\sqrt{2})^2$
$|\vec{s}|^2 = 90000 + 60000\sqrt{2} + 20000 + 20000 = 130000 + 60000\sqrt{2}$
$|\vec{s}| = \sqrt{130000 + 60000\sqrt{2}}$ км.

Вычислим численное значение, приняв $\sqrt{2} \approx 1.4142$:
$|\vec{s}| \approx \sqrt{130000 + 60000 \cdot 1.4142} = \sqrt{130000 + 84852} = \sqrt{214852} \approx 463.52$ км.

Ответ: Самолет удалился от первоначального пункта вылета на расстояние $\sqrt{130000 + 60000\sqrt{2}}$ км, что приблизительно равно 463,5 км.