Номер 1.24, страница 27 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.24. Дан параллелограмм ABCD. Найдите разность векторов:

1) $\vec{AB} - \vec{AC}$

2) $\vec{BC} - \vec{CD}$

Для решения задачи воспользуемся правилами действий над векторами и свойствами параллелограмма $ABCD$.

1)

Требуется найти разность векторов $\vec{AB} - \vec{AC}$.
По определению разности двух векторов, имеющих общее начало (в данном случае точка A), их разностью $\vec{a} - \vec{b}$ является вектор, который соединяет конец вычитаемого вектора ($\vec{b}$) с концом уменьшаемого вектора ($\vec{a}$).
В нашем случае, вектором разности будет вектор, идущий из конца вектора $\vec{AC}$ (то есть из точки C) в конец вектора $\vec{AB}$ (то есть в точку B).
Таким образом, получаем:
$\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}$
Этот результат можно также получить алгебраически. Заменим вычитание сложением с противоположным вектором. Вектор $-\vec{AC}$ равен вектору $\vec{CA}$.
$\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{AB} + (-\vec{AC}) = \vec{AB} + \vec{CA}$
Используя переместительное свойство сложения и правило треугольника:
$\vec{CA} + \vec{AB} = \vec{CB}$
Ответ: $\vec{CB}$.

2)

Требуется найти разность векторов $\vec{BC} - \vec{CD}$.
В параллелограмме $ABCD$ противолежащие стороны равны и параллельны, поэтому векторы, построенные на них и имеющие одинаковое направление, равны. В частности, $\vec{AB} = \vec{DC}$.
Вектор $\vec{CD}$ является противоположным вектору $\vec{DC}$, то есть $\vec{CD} = -\vec{DC}$.
Используя равенство $\vec{DC} = \vec{AB}$, получаем:
$\vec{CD} = -\vec{AB}$
Теперь подставим это выражение в исходную разность:
$\vec{BC} - \vec{CD} = \vec{BC} - (-\vec{AB}) = \vec{BC} + \vec{AB}$
Применим переместительное свойство сложения векторов:
$\vec{BC} + \vec{AB} = \vec{AB} + \vec{BC}$
По правилу треугольника (последовательного сложения векторов), сумма векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ равна вектору, соединяющему начало первого вектора (точка A) с концом второго вектора (точка C).
Следовательно:
$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$
Ответ: $\vec{AC}$.