Номер 1.18, страница 26 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.18. Дан четырехугольник ABCD. Докажите, что:

1) $\vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AC} + \vec{CD}$;

2) $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AD} + \vec{DC}$.

1) Для доказательства равенства $\vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AC} + \vec{CD}$ воспользуемся правилом треугольника для сложения векторов (правилом Шаля). Согласно этому правилу, для любых трех точек $X, Y, Z$ справедливо равенство $\vec{XY} + \vec{YZ} = \vec{XZ}$.

Рассмотрим левую часть доказываемого равенства: $\vec{AB} + \vec{BD}$. По правилу треугольника для точек A, B и D, сумма векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BD}$ равна вектору, идущему из начальной точки первого вектора (A) в конечную точку второго вектора (D). Таким образом:

$ \vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AD} $

Теперь рассмотрим правую часть доказываемого равенства: $\vec{AC} + \vec{CD}$. По правилу треугольника для точек A, C и D, сумма векторов $\vec{AC}$ и $\vec{CD}$ равна вектору, идущему из начальной точки первого вектора (A) в конечную точку второго вектора (D). Таким образом:

$ \vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD} $

Поскольку и левая, и правая части исходного равенства равны одному и тому же вектору $\vec{AD}$, данное равенство является верным.

Ответ: Равенство $\vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AC} + \vec{CD}$ доказано.

2) Для доказательства равенства $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AD} + \vec{DC}$ также воспользуемся правилом треугольника для сложения векторов.

Рассмотрим левую часть равенства: $\vec{AB} + \vec{BC}$. Применив правило треугольника для точек A, B и C, получим вектор, соединяющий начальную точку A и конечную точку C:

$ \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} $

Теперь рассмотрим правую часть равенства: $\vec{AD} + \vec{DC}$. Применив правило треугольника для точек A, D и C, получим вектор, соединяющий начальную точку A и конечную точку C:

$ \vec{AD} + \vec{DC} = \vec{AC} $

Поскольку левая и правая части исходного равенства равны одному и тому же вектору $\vec{AC}$, данное равенство является верным.

Ответ: Равенство $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AD} + \vec{DC}$ доказано.