Номер 1.15, страница 19 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.15. Докажите обратное утверждение к задаче 1.13. Если отрезки AC и BD делятся пополам в точке их пересечения, то выполняется равенство $ \vec{AB} = \vec{DC} $.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Пусть задана произвольная точка O — начало отсчета (начало системы координат). Тогда положение точек A, B, C и D можно описать их радиус-векторами $\vec{OA}$, $\vec{OB}$, $\vec{OC}$ и $\vec{OD}$. Для краткости будем обозначать их как $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ и $\vec{d}$ соответственно.

Четырехугольник, в котором отрезки AC и BD пересекаются и делятся точкой пересечения пополам, является параллелограммом. Иллюстрация представлена ниже.

Пусть M — точка пересечения отрезков AC и BD. По условию, M является серединой отрезка AC. Радиус-вектор середины отрезка равен полусумме радиус-векторов его концов. Таким образом, радиус-вектор точки M, $\vec{m}$, можно выразить как: $\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$.

Аналогично, по условию, M является серединой отрезка BD. Следовательно, ее радиус-вектор также можно выразить через радиус-векторы точек B и D: $\vec{m} = \frac{\vec{b} + \vec{d}}{2}$.

Так как оба выражения определяют радиус-вектор одной и той же точки M, мы можем их приравнять: $\frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} = \frac{\vec{b} + \vec{d}}{2}$.

Умножим обе части этого равенства на 2: $\vec{a} + \vec{c} = \vec{b} + \vec{d}$.

Нам нужно доказать равенство векторов $\vec{AB} = \vec{DC}$. Вектор, проведенный из одной точки в другую, равен разности радиус-векторов его конца и начала. То есть, $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ и $\vec{DC} = \vec{c} - \vec{d}$.

Перегруппируем члены в равенстве $\vec{a} + \vec{c} = \vec{b} + \vec{d}$, чтобы получить эти разности. Перенесем вектор $\vec{a}$ в правую часть, а вектор $\vec{d}$ — в левую часть равенства: $\vec{c} - \vec{d} = \vec{b} - \vec{a}$.

Это и доказывает, что $\vec{DC} = \vec{AB}$, так как левая часть равна $\vec{DC}$, а правая — $\vec{AB}$. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение о том, что если отрезки AC и BD делятся пополам в точке их пересечения, то выполняется равенство $\vec{AB} = \vec{DC}$, доказано.