Номер 1.11, страница 19 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.11. Определите вид четырехугольника ABCD, если:

1) $\vec{AB} = \vec{DC}$ и $|\vec{AB}| = |\vec{BC}|$;

2) $\vec{AB} \uparrow\uparrow \vec{DC}$, $\vec{AD} \parallel \vec{AB}$.

1)

Рассмотрим условия для четырехугольника $ABCD$: $\vec{AB} = \vec{DC}$ и $|\vec{AB}| = |\vec{BC}|$.

Условие $\vec{AB} = \vec{DC}$ означает, что векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ равны. Равенство векторов подразумевает, что они параллельны, сонаправлены и равны по длине. Из этого следует, что противолежащие стороны $AB$ и $DC$ четырехугольника параллельны ($AB \parallel DC$) и равны по длине ($|AB| = |DC|$).

Четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны и равны, по определению является параллелограммом. Таким образом, $ABCD$ — это параллелограмм.

Второе условие, $|\vec{AB}| = |\vec{BC}|$, означает, что длины смежных сторон $AB$ и $BC$ равны.

Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, является ромбом. Так как мы установили, что $ABCD$ — параллелограмм, и его смежные стороны равны, то $ABCD$ — это ромб.

Ответ: ромб.

2)

Рассмотрим условия для четырехугольника $ABCD$: $\vec{AB} \uparrow\uparrow \vec{DC}$ и $\vec{AD} \parallel \vec{AB}$.

Первое условие, $\vec{AB} \uparrow\uparrow \vec{DC}$, означает, что векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ сонаправлены. Сонаправленные векторы всегда параллельны, следовательно, прямые $AB$ и $DC$ параллельны ($AB \parallel DC$). Это означает, что $ABCD$ является трапецией или параллелограммом.

Второе условие, $\vec{AD} \parallel \vec{AB}$, означает, что векторы $\vec{AD}$ и $\vec{AB}$ коллинеарны (их направления лежат на параллельных прямых или на одной прямой). Поскольку эти векторы имеют общую начальную точку $A$, они должны лежать на одной прямой. Следовательно, точки $D$, $A$ и $B$ лежат на одной прямой.

Теперь объединим оба вывода. У нас есть прямая, на которой лежат точки $D, A, B$. Обозначим эту прямую $L_1$. Также у нас есть прямая, содержащая отрезок $DC$, которую мы обозначим $L_2$. Из первого условия мы знаем, что $L_1 \parallel L_2$.

Однако, точка $D$ принадлежит обеим прямым: она лежит на $L_1$ (потому что $D, A, B$ на одной прямой) и на $L_2$ (потому что на ней лежит отрезок $DC$). Если две параллельные прямые имеют общую точку, то они совпадают. Значит, $L_1$ и $L_2$ — это одна и та же прямая.

Это означает, что все четыре вершины четырехугольника, $A, B, C$ и $D$, лежат на одной прямой. Такой четырехугольник называется вырожденным.

Ответ: вырожденный четырехугольник.