Номер 1.8, страница 19 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.8. В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB = 3$ см, сторона $BC = 4$ см и точка $N$ является серединой $AB$. Найдите модули векторов $\vec{AB}$, $\vec{BC}$, $\vec{DC}$, $\vec{NC}$, $\vec{NA}$, $\vec{CB}$, $\vec{AC}$.

По условию задачи дан прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 3$ см и $BC = 4$ см. Точка $N$ является серединой стороны $AB$. Модуль вектора (его длина) равен длине отрезка, соединяющего его начало и конец. В прямоугольнике противоположные стороны равны ($AB = CD$, $BC = AD$) и все углы прямые.

$\vec{AB}$: Модуль вектора $\vec{AB}$ равен длине стороны $AB$. По условию задачи, $AB = 3$ см.
$|\vec{AB}| = 3$ см.
Ответ: $3$ см.

$\vec{BC}$: Модуль вектора $\vec{BC}$ равен длине стороны $BC$. По условию, $BC = 4$ см.
$|\vec{BC}| = 4$ см.
Ответ: $4$ см.

$\vec{DC}$: Модуль вектора $\vec{DC}$ равен длине стороны $DC$. Так как $ABCD$ — прямоугольник, его противоположные стороны равны, поэтому $DC = AB = 3$ см.
$|\vec{DC}| = 3$ см.
Ответ: $3$ см.

$\vec{NC}$: Модуль вектора $\vec{NC}$ равен длине отрезка $NC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $NBC$, где $\angle B = 90^\circ$. Катет $BC = 4$ см. Точка $N$ — середина $AB$, поэтому катет $NB = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1.5$ см. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $NC$:
$NC^2 = NB^2 + BC^2 = (1.5)^2 + 4^2 = 2.25 + 16 = 18.25$.
$|\vec{NC}| = NC = \sqrt{18.25} = \sqrt{\frac{73}{4}} = \frac{\sqrt{73}}{2}$ см.
Ответ: $\frac{\sqrt{73}}{2}$ см.

$\vec{NA}$: Модуль вектора $\vec{NA}$ равен длине отрезка $NA$. Так как $N$ — середина стороны $AB$, то $NA = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1.5$ см.
$|\vec{NA}| = 1.5$ см.
Ответ: $1.5$ см.

$\vec{CB}$: Модуль вектора $\vec{CB}$ равен длине отрезка $CB$. Длина $CB$ равна длине $BC$, то есть $4$ см.
$|\vec{CB}| = 4$ см.
Ответ: $4$ см.

$\vec{AC}$: Модуль вектора $\vec{AC}$ равен длине диагонали $AC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, где $\angle B = 90^\circ$. Катеты $AB = 3$ см и $BC = 4$ см. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $AC$:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
$|\vec{AC}| = AC = \sqrt{25} = 5$ см.
Ответ: $5$ см.