Номер 1.4, страница 18 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.4. Что можно сказать о точках A, B и C, если выполняется равенство:

1) $\vec{AB} = \vec{0}$;

2) $\vec{AB} = \vec{BA}$;

3) $\vec{AC} = \vec{BC}$;

4) $\vec{CA} = \vec{CB}$?

1) Равенство $\vec{AB} = \vec{0}$ означает, что вектор $\vec{AB}$ является нулевым вектором. Нулевой вектор — это вектор, у которого начало и конец совпадают. Поскольку у вектора $\vec{AB}$ начало в точке A, а конец в точке B, из этого равенства следует, что точки A и B совпадают. Равенство не содержит никакой информации о точке C, следовательно, ее положение может быть произвольным.
Ответ: Точки A и B совпадают, точка C — произвольная.

2) Вектор $\vec{BA}$ является противоположным вектору $\vec{AB}$. Это означает, что он имеет ту же длину, но противоположное направление. Алгебраически это записывается как $\vec{BA} = -\vec{AB}$. Подставим это в исходное равенство $\vec{AB} = \vec{BA}$:
$\vec{AB} = -\vec{AB}$
Перенеся слагаемое в левую часть, получим:
$\vec{AB} + \vec{AB} = \vec{0}$
$2\vec{AB} = \vec{0}$
Разделив на 2, получаем $\vec{AB} = \vec{0}$. Как и в первом случае, это означает, что точки A и B совпадают. Положение точки C не ограничено.
Ответ: Точки A и B совпадают, точка C — произвольная.

3) Рассмотрим равенство $\vec{AC} = \vec{BC}$. Преобразуем его, перенеся вектор $\vec{BC}$ в левую часть уравнения:
$\vec{AC} - \vec{BC} = \vec{0}$
Поскольку замена вектора на противоположный равносильна изменению его знака, имеем $-\vec{BC} = \vec{CB}$. Подставим это в уравнение:
$\vec{AC} + \vec{CB} = \vec{0}$
Согласно правилу сложения векторов (правило треугольника или тождество Шаля), сумма векторов $\vec{AC}$ и $\vec{CB}$ дает вектор $\vec{AB}$. Таким образом, равенство принимает вид:
$\vec{AB} = \vec{0}$
Это означает, что точки A и B совпадают. При этом исходное равенство $\vec{AC} = \vec{BC}$ становится тождеством (так как если A и B — одна и та же точка, то $\vec{AC}$ и $\vec{BC}$ — один и тот же вектор), верным для любого положения точки C.
Ответ: Точки A и B совпадают, точка C — произвольная.

4) Равенство $\vec{CA} = \vec{CB}$ означает, что два вектора, имеющие общее начало в точке C, равны. Два вектора равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину. Если векторы с общим началом равны, то их концы должны совпадать. В данном случае концами векторов являются точки A и B. Следовательно, точки A и B совпадают.
Это можно также показать алгебраически. Выразим векторы через радиус-векторы точек A, B и C ($\vec{r_A}, \vec{r_B}, \vec{r_C}$) относительно некоторого начала O:
$\vec{CA} = \vec{r_A} - \vec{r_C}$
$\vec{CB} = \vec{r_B} - \vec{r_C}$
Из равенства $\vec{CA} = \vec{CB}$ следует $\vec{r_A} - \vec{r_C} = \vec{r_B} - \vec{r_C}$. Прибавив к обеим частям $\vec{r_C}$, получаем $\vec{r_A} = \vec{r_B}$, что означает совпадение точек A и B. Точка C может быть любой.
Ответ: Точки A и B совпадают, точка C — произвольная.