Вопросы, страница 17 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какова разница между векторными и скалярными величинами?

2. Что такое вектор и как его обозначают?

3. Какие векторы называются коллинеарными? Приведите примеры сонаправленных и противоположно направленных векторов.

4. Какие векторы называются равными?

5. Какая связь между равенством векторов и параллельным переносом?

6. Что такое модуль (длина) вектора?

7. Что вы знаете о нулевом векторе?

1. Какова разница между векторными и скалярными величинами?

Основное различие между скалярными и векторными величинами заключается в том, что скалярные величины полностью определяются своим числовым значением (величиной или модулем), в то время как векторные величины требуют для своего определения как числового значения, так и направления в пространстве.

• Скалярные величины характеризуются только величиной. Примерами могут служить масса, температура, объем, плотность, время, длина, площадь. Эти величины можно складывать и вычитать как обычные числа.
• Векторные величины характеризуются величиной (модулем) и направлением. Примеры: скорость, ускорение, сила, перемещение. Операции с векторами (сложение, вычитание) производятся по особым правилам, учитывающим их направления.

Таким образом, ключевое отличие — это наличие у вектора направления, которого нет у скаляра.

Ответ: Скалярные величины имеют только числовое значение (модуль), а векторные — и модуль, и направление.

2. Что такое вектор и как его обозначают?

Вектор — это направленный отрезок, то есть отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом (точкой приложения), а какая — концом. Направление вектора на чертеже изображается стрелкой.

Обозначают векторы одним из двух способов:

• Двумя заглавными латинскими буквами, обозначающими его начало и конец, со стрелкой над ними. Например, вектор с началом в точке $A$ и концом в точке $B$ обозначается как $\vec{AB}$.
• Одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней. Например, $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$.

Ответ: Вектор — это направленный отрезок. Его обозначают двумя заглавными буквами (начало и конец) или одной строчной буквой, со стрелкой наверху (например, $\vec{AB}$ или $\vec{a}$).

3. Какие векторы называются коллинеарными? Приведите примеры сонаправленных и противоположно направленных векторов.

Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Коллинеарные векторы бывают двух видов:

• Сонаправленные — это коллинеарные векторы, которые имеют одинаковое направление. Обозначается как $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$.
• Противоположно направленные — это коллинеарные векторы, которые имеют противоположные направления. Обозначается как $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$.

Пример:

Ответ: Коллинеарные векторы — это векторы, лежащие на одной или на параллельных прямых. Они могут быть сонаправленными (направлены в одну сторону) или противоположно направленными (направлены в разные стороны).

4. Какие векторы называются равными?

Два вектора называются равными, если они удовлетворяют двум условиям:

1. Они сонаправлены ($\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$).
2. Их длины (модули) равны ($|\vec{a}| = |\vec{b}|$).

Равенство векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ обозначается как $\vec{a} = \vec{b}$. Из определения следует, что равные векторы всегда коллинеарны. Равные векторы можно получить друг из друга параллельным переносом.

Ответ: Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

5. Какая связь между равенством векторов и параллельным переносом?

Связь прямая: вектор можно рассматривать как сам параллельный перенос.

Параллельный перенос — это преобразование плоскости (или пространства), при котором каждая точка $(x, y)$ смещается в точку $(x+a, y+b)$. Этот перенос задается вектором $\vec{v}=(a, b)$.

Если параллельный перенос переводит точку $A$ в точку $B$, а точку $C$ в точку $D$, то векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равны. И наоборот, если векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равны, то существует параллельный перенос, который переводит точку $A$ в $C$ и точку $B$ в $D$.

Таким образом, равенство векторов означает, что они задают один и тот же параллельный перенос.

Ответ: Два вектора равны тогда и только тогда, когда один может быть получен из другого параллельным переносом. Равные векторы задают один и тот же параллельный перенос.

6. Что такое модуль (длина) вектора?

Модуль (или длина) вектора — это длина отрезка, который представляет этот вектор. Модуль является скалярной неотрицательной величиной.

Модуль вектора $\vec{a}$ обозначается как $|\vec{a}|$, а модуль вектора $\vec{AB}$ — как $|\vec{AB}|$.

Если вектор задан своими координатами в прямоугольной системе координат, например, на плоскости $\vec{a} = (x; y)$, то его модуль вычисляется по теореме Пифагора:

$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$

Для вектора в пространстве $\vec{a} = (x; y; z)$ формула аналогична:

$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

Ответ: Модуль вектора — это длина отрезка, изображающего вектор. Это неотрицательное число.

7. Что вы знаете о нулевом векторе?

Нулевой вектор (или нуль-вектор) — это особый вектор, у которого начальная и конечная точки совпадают. Например, вектор $\vec{AA}$ является нулевым.

Основные свойства нулевого вектора:

• Обозначение: $\vec{0}$.
• Длина (модуль): Длина нулевого вектора равна нулю: $|\vec{0}| = 0$. Это единственный вектор с нулевой длиной.
• Направление: Направление нулевого вектора не определено.
• Коллинеарность: По соглашению, нулевой вектор считается коллинеарным (а также перпендикулярным) любому другому вектору.

При сложении любого вектора $\vec{a}$ с нулевым вектором получается тот же вектор $\vec{a}$: $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$.

Ответ: Нулевой вектор — это вектор, у которого начало и конец совпадают. Его длина равна нулю, а направление не определено. Обозначается $\vec{0}$.