Номер 1.3, страница 18 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.3. Среди векторов, определенных сторонами прямоугольника $ABCD$, найдите:
1) коллинеарные;
2) перпендикулярные;
3) равные между собой векторы.

Для решения задачи рассмотрим прямоугольник $ABCD$. Векторы, определенные его сторонами, это векторы, начало и конец которых совпадают с вершинами прямоугольника и которые лежат на его сторонах. Такими векторами являются $\vec{AB}$, $\vec{BA}$, $\vec{BC}$, $\vec{CB}$, $\vec{CD}$, $\vec{DC}$, $\vec{DA}$ и $\vec{AD}$.

1) коллинеарные

Коллинеарными называются ненулевые векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых. В прямоугольнике $ABCD$ противоположные стороны попарно параллельны: $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$. Следовательно, векторы, лежащие на этих сторонах, будут коллинеарны. Также коллинеарны векторы, лежащие на одной прямой, например $\vec{AB}$ и $\vec{BA}$.

Таким образом, можно выделить две группы взаимно коллинеарных векторов:

• Группа 1 (лежащие на сторонах $AB$ и $CD$): $\vec{AB}$, $\vec{BA}$, $\vec{CD}$, $\vec{DC}$.

• Группа 2 (лежащие на сторонах $BC$ и $AD$): $\vec{BC}$, $\vec{CB}$, $\vec{AD}$, $\vec{DA}$.

Ответ: Коллинеарными являются любые два вектора, взятые из группы $\{\vec{AB}, \vec{BA}, \vec{CD}, \vec{DC}\}$, а также любые два вектора, взятые из группы $\{\vec{BC}, \vec{CB}, \vec{AD}, \vec{DA}\}$.

2) перпендикулярные

Перпендикулярными называются векторы, угол между которыми составляет $90^\circ$. В прямоугольнике смежные стороны перпендикулярны друг другу ($AB \perp BC$, $BC \perp CD$, и т.д.).

Это означает, что любой вектор из первой группы коллинеарных векторов ($\{\vec{AB}, \vec{BA}, \vec{CD}, \vec{DC}\}$) будет перпендикулярен любому вектору из второй группы коллинеарных векторов ($\{\vec{BC}, \vec{CB}, \vec{AD}, \vec{DA}\}$).

Ответ: Любой вектор из набора $\{\vec{AB}, \vec{BA}, \vec{CD}, \vec{DC}\}$ перпендикулярен любому вектору из набора $\{\vec{BC}, \vec{CB}, \vec{AD}, \vec{DA}\}$.

3) равные между собой векторы

Равными называются векторы, если они сонаправлены (имеют одинаковое направление) и их длины (модули) равны. В прямоугольнике $ABCD$ противоположные стороны равны и параллельны, что является основой для нахождения равных векторов.

1. Векторы на сторонах $AB$ и $CD$. Так как $AB \parallel CD$ и $|AB|=|CD|$, то векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ сонаправлены и равны по длине. Аналогично, векторы $\vec{BA}$ и $\vec{CD}$ сонаправлены и равны по длине. Таким образом, получаем две пары равных векторов: $\vec{AB} = \vec{DC}$ и $\vec{BA} = \vec{CD}$.

2. Векторы на сторонах $BC$ и $AD$. Так как $BC \parallel AD$ и $|BC|=|AD|$, то векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ сонаправлены и равны по длине. Аналогично, векторы $\vec{CB}$ и $\vec{DA}$ сонаправлены и равны по длине. Таким образом, получаем еще две пары равных векторов: $\vec{BC} = \vec{AD}$ и $\vec{CB} = \vec{DA}$.

Ответ: Пары равных векторов: $\vec{AB} = \vec{DC}$; $\vec{BA} = \vec{CD}$; $\vec{BC} = \vec{AD}$; $\vec{CB} = \vec{DA}$.